Determinante von Blockmatrizen

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SarrusRegel Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante von Blockmatrizen
Meine Frage:
Guten Tag, ich stehe vor einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter.
Die Aufgabe lautet:
zz: det(M) = det(A) det(B), wobei mit

Meine Ideen:
Ich habe mir die Matrix M mal sauber aufgeschrieben und komme auf
Nun habe ich in der VL die folgende Definition gehabt:
mit wobei gilt: det(X) = det(A)*det(B)
Die Matrix X müsste somit folgende Form haben:

Wenn ich jetzt die Zeilen mit den Nullen und den b's mit den Zeilen a's und d'S tausche, aus der Matrix X, dann erhalte ich ja gerade die Matrix M.
Da wir n-mal Zeilen vertauscht haben kommt eine hinzu und ich habe somit:
det(M) = det(A) det(B)
Wo bekomme ich das her?
MFG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für n ungleich m gehen die m 0-Zeilen nicht nach oben durch n Zeilenvertauschungen.
SarrusRegel Auf diesen Beitrag antworten »

Ah das sehe ich jetzt auch, gibt es eine andere Möglichkeit auf die Matrix M zu schleißen, mit Hilfe der Matrix X?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher geht das, durch Zeilen- und Spaltenoperationen, aber ich sehe auch noch nicht, wie das genau geht.
SarrusRegel Auf diesen Beitrag antworten »

Also ändern Spaltenvertauschungen auch das Vorzeichen der Determinate? Denn in unsere VL wurde dies nur für Zeilenvertauschung eingeführt.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, tun sie.
Hier reicht es, jede der unteren m Zeilen an den n darüber stehenden vorbei zu schieben.
 
 
SarrusRegel Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bekomme ich dann nicht ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vertausche immer nur zwei benachbarte Zeilen, dann kommst du auf die Behauptung. Man schiebt jeweils die untere b-Zeile n mal nach unten, dadurch rutscht der d-Block eine Zeile nach oben. Das sind mn Vertauschungen.
SarrusRegel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also bsp. so:
Wir tauschen in der Matrix X die erste Zeile mit den Nullen und den b's mit der letzten Zeile mit den a's und d's.
Nun tauschen wir die Zeile mit den a's und d's noch m-1 mal mit den Null- und d-Zeilen und somit steht dann die Zeile ganz unten in der gesamten Matrix. Wir haben also schonmal m-mal Zeilen vertauscht, daher kommt das .
Da wir aber insgesamt n-Zeilen mit den a's und d's haben, müssen wir für jede Zeile das Verfahren n-mal durchführen (n-1 mal, da wir einmal schon durchlaufen sind).
Folglich haben wir Vertauschungen, also Vertauschungen.

Da wir nun aus der Matrix X die Matrix M gewonnen haben, durch Vertauschungen, und det(X) = det(A)*det(B) gilt:
det(M) = det(A)*det(B).

So korrekt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch viel einfacher, und ich dachte, ich hätte es schon vollständig und leicht verständlich erklärt. Tausche die m-te Zeile n mal nach unten, dann die m-1-te Zeile n mal nach unten, ..., zum Schluß die 1. Zeile n mal nach unten. Das sind mn Vertauschungen.
SarrusRegel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay im Prinzip das "Gleiche", jedoch viel einfach und verständlicher erklärt, vielen Dank!
SarrusRegel Auf diesen Beitrag antworten »

Bemerkung: Ich glaube übrigens ihre n's und m's sind vertauscht, denn wir tauschen aus der Matrix X die n-te Zeile mit den a's und d's m-mal nach unten smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

n und m sind so ähnlich, da braucht man schon eine Lupe um den Unterschied zu erkennen. Hauptsache das Prinzip stimmt.
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