Nilpotenter Endomorphismus

14.01.2021, 18:02	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotenter Endomorphismus Meine Frage: Hallöchen! Ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiter weiß: Sei f(X)= AX-XA und A nilpotent. Beweise oder wiederlege: f ist nilpotent Meine Ideen: Nach etwas rumrechnen denke ich f ist nilpotent. Mit der Annahme, dass $\begin{eqnarray} A^2 = 0 \end{eqnarray}$ ist, ist $\begin{eqnarray} f^3=0 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} A^3 = 0[/latex ist [latex] f^5=0 \end{eqnarray}$ . Somit ist meine Vermutung, dass für $\begin{eqnarray} A^k=0; \quad f^{2k-1} = 0 \end{eqnarray}$ ist. Habe es mir auch etwas veranschaulicht ich kann ja so oft f mit sich selber verketten, bis bei jedem Summand ein $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ steht womit das ganze dann 0 wird. Meine Frage ist jetzt wie kann man dass sauber aufschreiben? Oder gibts da eine bessere Lösung ohne das alles so schwammig zu formulieren? Und natürlich auch ob meine Schritte bis hierhin richtig sind.
14.01.2021, 18:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe nicht, wieso $\begin{eqnarray} A^2=0\Rightarrow f^3=AXAXAX-AXAXXA+AXXAXA-XAXAXA \end{eqnarray}$ gleich 0 sein sollte. Bitte kläre mich auf.
14.01.2021, 18:51	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm villeicht habe ich mich irgendwo verrechnet. Ich schreibe mal auf was ich habe: Für A^2=0: $\begin{eqnarray} <br /> f^3&=A(A(AX-XA)-(AX-XA)A)-(A(AX-XA)-(AX-XA)A)A\\<br /> &=A^2(AX-XA)-A(AX-XA)A-A(AX-XA)A-(AX-XA)A^2\\<br /> &=A^2(AX-XA)-(A^2X-XA^2)-(A^2X-XA^2)-(AX-XA)A^2\\<br /> &=0<br /> \end{eqnarray}$ Oder habe ich mich da verrechnet? Seh den Fehler aber nicht....
14.01.2021, 19:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktiv kann man ähnlich wie beim binomischen Lehrsatz zeigen: $\begin{align} f^n(X) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k A^{n-k}XA^k \end{align}$ Für $\begin{align} n=3 \end{align}$ wäre das $\begin{align} f^3(X) = A^3X - 3A^2XA + 3AXA^2 - A^3X \end{align}$ In deiner Rechnung scheint mir in der zweiten Zeile ein Fehler zu sein. Der vierte Summand braucht ein Plus.
14.01.2021, 19:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ich dachte $\begin{eqnarray} f^3=(AX-XA)^3=((AX-XA)(AX-XA))(AX-XA)=(AXAX-AXXA-XAAX+XAXA)(AX-XA) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =AXAXAX-AXAXXA+AXXAAX+AXXAXA-XAAXAX+XAAXXA+XAXAAX-XAXAXA \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =AXAXAX-AXAXXA+AXXAXA-XAXAXA \end{eqnarray}$ und du meintest nicht die Potenz sondern die Komposition - das muss ja auch dazugesagt werden.
14.01.2021, 20:03	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach genau das soll die Komposition sein. Also $\begin{eqnarray} f^3(X) = f(f(f(X))) \end{eqnarray}$ . Sorry wir haben das so eingeführt gar nicht daran gedacht dass man das als Potenz rechnene kann . Dann müsste die Rechnung doch so weit stimmen oder?
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14.01.2021, 20:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe hier
14.01.2021, 20:16	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe deinen Beitrag gar nicht gesehen sorry! Dann mache ich mich mal an den Beweis ran. Danke!

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