Lösung multivariater 3-dimensionaler Funktionen

14.01.2021, 22:27

SEhni

Lösung multivariater 3-dimensionaler Funktionen

Meine Frage:
Hallo,

vielen Dank schonmal im Voraus.

Es geht um die Quantifizierung zweier Analyten (x,y) aus einer Mischung mithilfe der Absorptionen (Abs1, Abs2) an zwei unterschiedlichen Wellenlängen. Beide Analyte absorbieren an beiden Wellenlängen, aber mit unterschiedlicher Intensität, und können zu dem noch miteinander konzentrationsabhängig reagieren. Man hat also ein komplexes System und braucht für beide Wellenlängen jeweils eine Kalibrierungsfläche, die durch 3D Regression mit einem quadratischen Polynom erhalten wird. Somit erhält man zwei Funktionen mit zwei Variablen:

$\begin{eqnarray*} {\textrm{Abs}}_1 =z_1+A_1 \,x+B_1 \,y+C_1 \,x^2+D_1 \,y^2+E_1 \,x\,y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\textrm{Abs}}_2 =z_2+A_2 \,x+B_2 \,y+C_2 \,x^2+D_2 \,y^2+E_2 \,x\,y \end{eqnarray*}$

Leider ist ein einfaches Umstellen und Einsetzen der Gleichungen nicht möglich. Mit MATLAB erhalte ich riesige seltsame Ergebnisterme.
Daher meine Frage: Wie kann ich x und y aus diesen zwei Funktionen bestimmen?

Meine Ideen:
Versucht habe ich das Umstellen von Abs1 nach y, was allerdings schon zwei Lösungen gibt, da die Wurzel gebildet werden muss.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l} \left(\begin{array}{c} y =\\ -\frac{B_1 +E_1 \,x+\sigma_1 }{2\,D_1 }\\ -\frac{B_1 +E_1 \,x-\sigma_1 }{2\,D_1 } \end{array}\right)\\ \mathrm{}\\ \textrm{where}\\ \mathrm{}\\ \;\;\sigma_1 =\sqrt{{B_1 }^2 +2\,B_1 \,E_1 \,x+{E_1 }^2 \,x^2 -4\,C_1 \,D_1 \,x^2 -4\,A_1 \,D_1 \,x-4\,D_1 \,z_1 +4\,{\textrm{Abs}}_1 \,D_1 } \end{array} \end{eqnarray*}$

Das ist ja nicht weiter tragisch. Man kann dann ja den Ergebnisterm verwenden, welcher realistische Werte ausgibt. Das Problem ist aber dann das Einsetzen in Abs2 und Auflösen nach x. Das bekommt MATLAB auch nur viel Rechenzeit hin und gibt dann seltsame und ellenlange Ergebnisse aus mit denen ich leider nichts anfangen kann. Auch sonst kenne ich mich da leider nicht allzu gut aus. Ich habe etwas von Linearisierung gelesen, habe es aber leider nicht verstanden und bin auch nicht sicher, ob mir das weiter hilft. Eine Lösung hierfür wäre echt super. Vielen Dank nochmal.

Viele Grüße

14.01.2021, 23:26

Ulrich Ruhnau

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RE: Lösung multivariater 3-dimensionaler Funktionen

Zitat:

Original von SEhni
Meine Frage:
Es geht um die Quantifizierung zweier Analyten (x,y) aus einer Mischung mithilfe der Absorptionen (Abs1, Abs2) an zwei unterschiedlichen Wellenlängen. Beide Analyte absorbieren an beiden Wellenlängen, aber mit unterschiedlicher Intensität, und können zu dem noch miteinander konzentrationsabhängig reagieren. Man hat also ein komplexes System und braucht für beide Wellenlängen jeweils eine Kalibrierungsfläche, die durch 3D Regression mit einem quadratischen Polynom erhalten wird. Somit erhält man zwei Funktionen mit zwei Variablen:

$\begin{eqnarray*} {\textrm{Abs}}_1 =z_1+A_1 \,x+B_1 \,y+C_1 \,x^2+D_1 \,y^2+E_1 \,x\,y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\textrm{Abs}}_2 =z_2+A_2 \,x+B_2 \,y+C_2 \,x^2+D_2 \,y^2+E_2 \,x\,y \end{eqnarray*}$

Leider ist ein einfaches Umstellen und Einsetzen der Gleichungen nicht möglich. Mit MATLAB erhalte ich riesige seltsame Ergebnisterme.
Daher meine Frage: Wie kann ich x und y aus diesen zwei Funktionen bestimmen?

Jede Gleichung beschreibt eine andere Höhenlinie in einem anderen Paraboloid. Es sind hier also (x,y)-Punkte gesucht, die in beiden Höhenlinien vertreten sind. Ich vermute, daß je nach Parametersatz eine, zwei oder auch keine Lösung auftritt. Weil mir hier kein analytisches Verfahren einfällt, würde ich hier mit dem Newtonschen Näherungsverfahren in zwei Dimensionen arbeiten.

15.01.2021, 18:38

SEhni85

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RE: Lösung multivariater 3-dimensionaler Funktionen
Hallo,

danke für die Antwort. Das Newtonsche Verfahren ist ein Iterationsverfahren, wenn ich das richtig verstanden habe? Darf ich die zwei Gleichungen dafür auch zuvor addieren. Sprich umstellen von Abs1 und Abs2 nach

$\begin{eqnarray*} A_1 \,x+B_1 \,y+C_1 \,x^2+D_1 \,y^2+E_1 \,x\,y-{\textrm{Abs}}_1 +z_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2 \,x+B_2 \,y+C_2 \,x^2+D_2 \,y^2+E_2 \,x\,y-{\textrm{Abs}}_2 +z_2=0 \end{eqnarray*}$

und anschließend addieren, sodass:
$\begin{eqnarray*} (A_1+A_2) \,x+(B_1+B_2) \,y+(C_1+C_2) \,x^2+(D_1+D_2) \,y^2+(E_1+E_2) \,x\,y-{\textrm{Abs}}_1-{\textrm{Abs}}_2 +z_1+z_2=0 \end{eqnarray*}$

Mit dieser Gleichung mache ich dann das Iterationsverfahren? Das geht dann ja über Matrizenrechnung. Gibt es da eine einfache Möglichkeit das mit Excel zu machen? Auch für mehrere Messungen gleichzeitig? Ich rede da von über 700 Messungen, die alle nach dem Schema berechnet werden müssten. Habe gerade alle Daten in Excel und versuche mich an dem Solver AddIn und VBA.

15.01.2021, 23:52

Ulrich Ruhnau

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RE: Lösung multivariater 3-dimensionaler Funktionen
Falsch! Das Newtonverfahren im Mehrdimensionalen sieht anders aus.
Aus

Zitat:

Original von SEhni85
$\begin{eqnarray*} A_1 \,x+B_1 \,y+C_1 \,x^2+D_1 \,y^2+E_1 \,x\,y-{\textrm{Abs}}_1 +z_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2 \,x+B_2 \,y+C_2 \,x^2+D_2 \,y^2+E_2 \,x\,y-{\textrm{Abs}}_2 +z_2=0 \end{eqnarray*}$

machst Du einfach

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=A_1 \,x+B_1 \,y+C_1 \,x^2+D_1 \,y^2+E_1 \,x\,y-{\textrm{Abs}}_1 +z_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x,y=A_2 \,x+B_2 \,y+C_2 \,x^2+D_2 \,y^2+E_2 \,x\,y-{\textrm{Abs}}_2 +z_2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ .

Für die Newtonsche Interation muß gelten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_n \\ g_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} f_{x,n} & f_{y,n} \\ g_{x,n} & g_{y,n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{n+1}-x_n \\ y_{n+1}-y_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das mußt Du nur nach $\begin{eqnarray*} (x_{n+1},y_{n+1}) \end{eqnarray*}$ auflösen, sodaß da seht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} f_{x,n} & f_{y,n}\\ f_{x,n} & f_{y,n} \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} f_n \\ g_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.01.2021, 14:23

SEhni85

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RE: Lösung multivariater 3-dimensionaler Funktionen
Okay. Das hat funktioniert. Vielen vielen Dank.

Willkommen im Matheboard!
Du bist hier zweimal angemeldet, SEhni wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

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