Drehmatrix mittels Drehvektor erzeugen

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Drehmatrix mittels Drehvektor erzeugen
Weil ich früher in der Schule keine Lineare Algebra hatte, erlaube ich mir folgende Frage: Wie berechnet man zu einer gegebenen Drehachse die Drehmatrix? Angenommen ich möchte den Vektor um die Achse um den Winkel verdrehen. Wie konstruiere ich mir die Matrix so, daß



gilt?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal die Achse drehen



Dann der Winkel phi um die Z Achse



Alles in allem müsste das dann gehen

Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

3-dimensionale Drehungen kann man auf 2-dimensionale Drehungen zurückführen, indem man sie in einem Koordinatensystem mit folgenden 4 Eigenschaften betrachtet:

Die 3 Basisvektoren:
(1) sind senkrecht,
(2) sie haben den Betrag 1,
(3) sie bilden ein Rechtssystem, also
(4) die Drehachse zeigt in Richtung des dritten Basisvektors

In deinem Falle erfüllen z.B. die folgenden 3 Basisvektoren diese Bedingungen:



(=Einheitsvektor der Drehachse)

Vor der Drehung, stellt man den originalen (ungedrehten) Vektor als Linarkombination dieser 3 Basisvektoren dar.



Die 3 zugehörigen Koordinaten gewinnt man wie immer durch Lösen eines linearen Gleichungssystems. Bei Drehung dieses Vektors um den Vektor (also um die vorher gewählte Drehachse), ändert sich die zugehörige Koordinate nicht. Die anderen beiden Koordianten ändern sich auf bekannte Weise wie bei einer 2-dimsnionalen Drehung in der Ebene. Der gedrehte Vektor lautet also




Diese Gleichung kann man leicht in Matrixschreibweise hinschreiben und hat die gesuchte Drehmatrix. Man beachte die richtige Drehrichtung. Eventuell muss man den Drehwinkel durch ersetzen.
hawe Auf diesen Beitrag antworten »

3D Drehung um eine Vektor-Achse hab mit GeoGebra zusammengestellt

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/fdmmvvma
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos


(=Einheitsvektor der Drehachse)

Wie kommst Du hier auf ? Bzw. was machst Du, wenn die Drehachse in irgend eine krumme Richtung zeigt?

Zitat:
Vor der Drehung, stellt man den originalen (ungedrehten) Vektor als Linarkombination dieser 3 Basisvektoren dar.



Die 3 zugehörigen Koordinaten gewinnt man wie immer durch Lösen eines linearen Gleichungssystems.

1. Frage: Meinst Du die folgende Gleichung?

Welches lineare Gleichungssystem soll ich lösen?

2. Frage: Mit habe ich wieder einen Vektor. Ich will aber eine Matrix haben. Wie bekomme ich die?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehmatrix mittels Drehvektor erzeugen
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Weil ich früher in der Schule keine Lineare Algebra hatte, erlaube ich mir folgende Frage: Wie berechnet man zu einer gegebenen Drehachse die Drehmatrix? Angenommen ich möchte den Vektor um die Achse um den Winkel verdrehen. Wie konstruiere ich mir die Matrix so, daß



gilt?


Eine Drehung um einen Achsen-Einheitsvektor lässt sich als Drehmatrix darstellen:

 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich Ruhnau
Ich erkläre dir mal die Herleitung der Drehmatrix:

Bezeichnung:
= Drehachse mit
= Drehwinkel

-------------------------------------------------------------------------------------
Zuerst zerlegt man den Vektor , der gedreht werden soll, in eine parallele und eine senkrechte Komponente bezüglich der Drehachse

_________(1)

Dabei haben wir zur Abkürzung folgenden Einheitsvektor eingeführt, der in Richtung des senkrechten Anteils von zeigt

___________(2)

Auf den so dargestellten vektor aus (1) wenden wir noch unbekannte Drehmatrix D an

_________(3)

Im letzten Summanden ändert die sich die Drehachse bei der Drehung offenbar nicht, so dass im letzten Summanden gilt . Weiterhin ist klar, dass der Vektor (ebenso wie der zur Drehachse senkrechte Einheitsvektor ) in derjenigen Ebene liegen muss, die senkrecht auf der Drehachse steht. Es existiert also eine Linearkombination

______(4)

Die Koordinaten erhält man durch skalare Multiplikation von (4) mit bzw. mit . Auf diese Weise erhält man

, also
, also

Einsetzen dieser Koordinaten in (4) liefert

______(5)

Darin setzen wir wieder den Einheitsvektor aus (2) ein und erhalten

______(6)

Einsetzen von (6) in den gedrehten Vektor (3) liefert endgültig die gewünschte Drehung eines beliebigen Vektors um eine Drehachse mit und dem Drehwinkel



Dies kann man in Form einer Matrixgleichung bringen, wie @Luftikus es bereits getan hat.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

@Ehos
Vielen Dank Ehos für diese ausführlichen Erklärungen ! Wenn ich Fragen dazu habe, dann melde ich mich noch mal.

@Luftikus
Danke für Deine übersichtliche Formel !
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