Supremum, Infimum, größtes und kleinstes Element sowie Min. und Max. von Halbordnungen und Mengen

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Rosenkohlmaschine Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum, Infimum, größtes und kleinstes Element sowie Min. und Max. von Halbordnungen und Mengen
Meine Frage:
Bestimmen Sie für die folgenden Mengen X ? R und Halbordnungen jeweils (sofern sie existieren) größte und kleinste Elemente, maximales und minimales Element sowie Supremum und Infimum.

1. X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} mit der Teilbarkeitsrelation n | m :? ?k ? Z : k · n = m.
2. X = {1,2,3,6,12} mit der Teilbarkeitsrelation.
3. X = {1/n : n ? N \ {0}} mit der gewöhnlichen Kleiner-Gleich-Relation.¨
4. X = N mit der Teilbarkeitsrelation.

Meine Ideen:
1.

Was ich weiß:

u ist untere Schranke von X <=>
o ist obere Schranke von X <=>

Dabei ist die größte untere Schranke das Infimum und die kleinste obere Schranke das Supremum. Sofern das Infimum oder das Supremum ein Element der Menge X ist, zählt es auch als Minimum oder Maximum. Somit würde ich bei 1. die Zahl 1 als Minimum und kleinstes Element angeben und die Zahl 12 als Maximum und größtes Element angeben. Als Supremum hätte ich {{1,2},{2,4},{3,6},{4,8},{1}} angeben und als Infimum {{1,12},{2,12},{3,12},{4,12},{5,10},{6,12},{12}}.



2. Auch hier würde ich als kleinstes Element, Infimum, und Minimum die Zahl 1 angeben, sowie die Zahl 12 als Maximum und größtes Element angeben und{{1,2},{2,6},{3,6},{1}} als Supremum sowie {{1,12},{2,12},{3,12},{12}} als Infimum.





3. Auch hier würde ich als kleinstes Element und Minimum die Zahl 1 angeben. Infimum. Supremum, größtes Element und Maximum entfallen?

4. Hier würde ich als größtes Element und Minimum die 0 und als kleinstes Element die 1 angeben. Infimum und Supremum entfallen.




Ich meine jedoch, die entsprechenden Punkte nicht richtig verstanden zu haben, da unser Prof nicht besonders gut erklären kann... Deshalb würde ich mich über eine Korrektur/Erklärung meiner Fehler freuen.

Herzlichen Dank und freundliche Grüße

Tim
Rosenkohlmaschine2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum, Infimum, größtes und kleinstes Element sowie Min. und Max. von Halbordnungen und Menge
Hier nochmal die Aufgabenstellung in korrektem Format:

1. x= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} mit der Teilbarkeitsrelation
2. X = {1,2,3,6,12} mit der Teilbarkeitsrelation.
3. mit der gewöhnlichen Kleiner-Gleich-Relation.
4. mit der Teilbarkeitsrelation
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich kann dein Professor die Definitionen nicht ordentlich aufschreiben, denn du kannst es auch nicht. Schreibe die Definitionen und Aufgaben ordentlich, vollständig, unzweideutig und lesbar auf, dann kannst du sie auch leichter bearbeiten. Es geht um Elemente von Mengen, die Elemente sollen bestimmte Eigenschaften haben, deshalb ist z.B. völlig unverständlich, wieso "{{1,2},{2,6},{3,6},{1}} als Supremum sowie {{1,12},{2,12},{3,12},{12}} als Infimum" auftreten könnten. Bezüglich Teilbarkeit in natürlichen Zahlen ist z.B. 0 das größte Element, denn a|0 für alle natürlichen Zahlen wegen a*0=0.
testkasper Auf diesen Beitrag antworten »

Der gute Prof kann schon gut erklären. Er macht's halt durch ständige Anreize, sich bestimmte Regeln und Zusammenhänge durch den Kopf gehen zu lassen. Wir haben keine Blaupause kennengelernt, in der man die Aufgabe vom OP direkt einsetzen und lösen kann.

Was glaube ich keiner von uns beiden versteht, ist, wie man mit einer anderen Ordnungsrelation, als der "kleiner gleich Relation" Elemente ordnet.
Im Anhang ist ein Ausschnitt der Folien, in denen bspw. als obere Schranke und als Supremum in einer Teilmengenrelation-geordneten Menge erkannt werden.

Glaube hier sind die Begriffe Vorgänger und Nachfolger sehr wichtig, da in der Aufgabenstellung die Teilbarkeitsrelation als dargestellt wird. Vergleiche das einfach mit , oder?

Also sei
  • größtes Element von gdw.
  • kleinstes Element von gdw.
  • maximales Element von gdw.
  • minimales Element von gdw.

und
  • obere Schranke von gdw.
  • untere Schranke von gdw.

und natürlich eben die bekannten Regeln, dass das Supremum die kleinste obere Grenze ist vice versa.

Ich probiers mal so. Für die Klausur ist auf jeden Fall noch viel zu üben! Lesen1
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Ordnungsrelation auf einer Menge ist eine Teilmenge für die gilt
(reflexiv)
(antisymmetrisch)
(transitiv)

heißt
das größte Element bezüglich gdw.
das kleinste Element bezüglich gdw.
ein maximales Element bezüglich gdw. (d.h. es gibt kein Element, das echt größer als ist)
ein minimales Element bezüglich gdw. (d.h. es gibt kein Element, das echt kleiner als ist)

Für eine Teilmenge heißt
eine obere Schranke von bezüglich gdw.
und die kleinste aller oberen Schranken ist obere Schranke von bezüglich heißt das Supremum von bezüglich
eine untere Schranke von bezüglich gdw.
und die größte aller unteren Schranken ist untere Schranke von bezüglich heißt das Infimum von bezüglich

Das Beispiel zeigt, dass es kein Supremum geben muss. ebenso für Infimum.

Die Definition von Schranken, Infimum und Supremum bezieht sich also nicht nur auf reelle Zahlen sondern gilt allgemeiner für Teilmengen von geordneten Mengen. Auf jeder Menge mit mehr als einem Element gibt es mehr als eine Ordnungsrelation.

In deinem Beispiel sind und maximale Elemente von , es gibt kein größtes und kein kleinstes Element, Infimum von ist

Bei der Teilbarkeit ist 6 das größte Element von , es ist maximal und auch das Supremum von in , denn obere Schranken sind 6,12,30,60. 2 und 3 sind minimale Elemente, 1 ist untere Schranke und Infimum von in .
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