Komplexe Fourier-Koeffizienten

16.01.2021, 15:17	Corioliskraft	Auf diesen Beitrag antworten »
A_k Schwierigkeiten Guten Morgen alle zusammen, ich bin Student im Bereich Maschinenbau und muss mich aufgrund einer Klausur mit dem Thema komplexe Fourierreihen auseinandersetzen. Einige habe ich zur Übung bereits berechnet und sitze gerade an einer Hürde, die da wäre: Gegeben ist folgende Fourier-Reihe: $\begin{eqnarray} f(t)= \begin{Bmatrix} sin(t) , 0 \le t\lt \pi/2 \\ cos(t), \pi/2\le t\lt\pi \end{Bmatrix} \end{eqnarray}$ a) $\begin{eqnarray} c_{ 0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{ k} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} A_{ k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi _{ k } \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} c_{ k} \end{eqnarray}$ Mit der Berechnung von der unter a) geforderten Koeffizienten hatte ich soweit erst einmal keine Probleme. Bei Aufgabenteil b) jedoch stoße ich an meine (aktuellen) Grenzen und meine Recherche war nicht sonderlich ergibig. Wie berechne ich für diese Funktion A_k? Die Grundformeln kenne ich, jedoch hapert es bei mir dann letztendlich and der Umsetzung... Aus der Literatur konnte ich folgedes entnehmen: $\begin{eqnarray} a_{ k } = 2 Re ( c_{ k } ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{ k } = -2* Im ( c_{ k } ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{ k } = 2* \left\lvert c_{ k } \right\rvert \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A_{ k } = 2* \sqrt{ a_{ k }^{ 2 } + b_{ k }^{ 2 }} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{ k } = Re(c_{ k }) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{ k } = -\text{ Im } (c\_{ k }) \end{eqnarray}$ des Weiteren: $\begin{eqnarray} tan \left( \phi_{ k } \right)= \frac{ \text{ Re }( c_{ k } ) }{ \text{ -Im } ( c_{ k } ) } \end{eqnarray}$ Mir wäre geholfen, wenn mir jemand entweder $\begin{eqnarray} A_{ k } \end{eqnarray*}$ lösen könnte oder zum Beispiel eine Hilfestellung gibt, wie ich dies mit WolphramAlpha machen kann. Ich bedanke mich schon einmal bei der lieben Gemeinschaft Es ist für mich irgendwie, so doof es sich anhören mag aktuell irgendwie noch ein wenig das Problem wie A_k berechnet werden soll. Einen eigenen Lösungsweg oder einen Versuch habe ich schon. (Wurzel habe ich noch nicht aufgelöst...) Wie wird das verbleibende k und vor allem das (-1)^k gehandhabt? Lässt man das alles so stehen? A_k ist ja die Amplitude, ändert sich diese hier bei der Version im zeitlichen Verlauf der Funktion oder ist es ein konstanter Wert? Willkommen im Matheboard! Ich hab die beiden Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen
16.01.2021, 18:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe $\begin{align} a_k = \begin{cases} - \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{(k-1)(k+1)}, & k \equiv 2 \bmod{4} \\ 0, & k \not \equiv 2 \bmod{4} \end{cases} \end{align}$ $\begin{align} b_k = \begin{cases} \frac{4}{\pi} \cdot \frac{k}{(k-1)(k+1)} , & k \equiv 2 \bmod{4} \\ 0, & k \not \equiv 2 \bmod{4} \end{cases} \end{align}$ Stimmt das mit deinen Ergebnissen überein? Sobald du $\begin{align} a_k,b_k \end{align}$ hast, kannst du doch sämtliche weiteren Größen mit deinen Formeln bestimmen. Allerdings scheinst du unterschiedliche Formelsysteme zu verwenden. Oben sind $\begin{align} a_k,b_k \end{align}$ anders definiert als unten (Faktor 2 ja oder nein). Halte dich an das System deiner Vorlesung.
16.01.2021, 22:37	Corioliskraft	Auf diesen Beitrag antworten »
mein Ansatz Hallo Leopold, vielen Dank für deine Antwort. Ich muss wohl irgendwo ein Fehler drin haben. Auf deine Ergebnisse bin ich nicht gekommen. Als Dateianhang habe ich mal meine PDF hochgeladen und hatte mir beim Aufschrieb auch Mühe gegeben es sauber zu schreiben. Werde es wohl noch weitere male von vorne rechnen. Entweder ist sie durch ein Rechenfehler kompliziertter geworden als die Aufgabe hätte sein müssen oder es ist wirklich ein Verständnisproblem. Das mit dem Faktor hat damit zu tun, dass man ihn einfach vor die Wurzel zieht. Die Zwei wird ja quadriert und jeweils die Wurzel gezogen, da kann ich sie auch vorne dran stellen. (Ich weiß, die Aussage schmerzt vielleicht Mathematikern im Ohr ) Ich hatte extra zur A_k Formel die passenden a_k und b_k dazugeschrieben aus dem Grund, weil durch die Vorangestellte 2 man nur für die Wurzel den Real bzw Imaginärteil braucht von a_k und b_k. Der Faktor wird durch die zwei vor der Wurzel wieder hergestellt. Von der Konvention eher eine Rechenhilfe oder Anweisung zum Abarbeiten. Es ist tatsächlich alles aus meiner Vorlesungsliteratur (Skript) vom Prof. Viele Grüße Jonas
18.01.2021, 17:10	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mein Ansatz Willkommen im Matheboard! Eigentlich hast Du nur eine Eins unterschlagen (der Term +1 in der letzten Zeile vor der schließenden eckigen Klammer ist nach dem Gleichheitszeichen verschwunden). Dann ergibt die Rücktransformation genau das Richtige. Viele Grüße Steffen

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