Linearformenfamilie ist Basis

16.01.2021, 12:31	StrangeIntuitions	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearformenfamilie ist Basis Meine Frage: Hallo, ich hätte eine Frage bzw. suche ich nach einem Ansatz für folgendes Problem: V ist ein Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B=(b_1 , b_2 , b_3) \end{eqnarray}$ eine Basis von V und $\begin{eqnarray} B^ \end{eqnarray}$ die dazu duale Basis. Nun soll ich zeigen, dass folgende Linearformenfamilie $\begin{eqnarray} (c^_1 , c^_2 , c^_3 ) \end{eqnarray}$ eine Basis $\begin{eqnarray} C^ \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ bildet. $\begin{eqnarray} <c^_1 , B > ,<c^_2 , B >,<c^_3 , B > \end{eqnarray}$ ; Meine Ideen: Mir ist klar das ich nachweisen muss das $\begin{eqnarray} C^ \end{eqnarray}$ linear unabhängig und Erzeugendensystem ist. nur verstehe ich nicht ganz wie ich das anstellen soll. kann ich $\begin{eqnarray} <C^,B> \end{eqnarray}$ betrachten und diese Matrix auf die Einheitsmatrix umformen um zu sehen das sie l.u. ist?
16.01.2021, 12:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeuten die spitzen Klammern ? Wie sind die c* definiert ? Wie berechnet man <c*,B> ?
16.01.2021, 15:08	StrangeIntuitions	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} c^ \end{eqnarray}$ ist eine Linearform. $\begin{eqnarray} V^:=L(V,K) \end{eqnarray}$ also die Linearen Funktionen von V nach K $\begin{eqnarray} <. , . > : V^ \times V \to K : (a^* , x) \to <a^* , x >:=a^(x) \end{eqnarray}$ Ich habe gerade gesehen das ich oben leider etwas sehr wichtiges vergessen habe: (tut mir leid) Es ist zudem gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> <c^_1 , B > = (0,1,1)<br /> <c^_2 , B >= (1,2,1)<br /> <c^_3 , B > = (1,1,1)<br /> \end{eqnarray}$ Es gilt also $\begin{eqnarray} <c^_1 , b_1 > =c^_1(b_1)=0 , <c^_1 , b_2 > =c^_1(b_2)=1 , <c^_1 , b_3 > =c^_1(b_3)= 1 \end{eqnarray*}$
16.01.2021, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit steht das Ergebnis schon da. Normal gebe ich keine Komplettlösung, aber das hier ist zu einfach um lange darüber zu reden. $\begin{eqnarray} \alpha c_1^+\beta c_2^+\gamma c_3^=0\,(\forall x\in V) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \alpha c_1^(b_i)+\beta c_2^(b_i)+\gamma c_3^(b_i)=0\, (i=1,2,3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha 0+\beta * 1+\gamma * 1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha * 1+\beta * 2+\gamma * 1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha * 1+\beta * 1+\gamma * 1=0 \end{eqnarray}$ Homogenes LGS vom Rang 3 hat nur die triviale Lösung, also $\begin{eqnarray} c_1^,c_2^,c_3^* \end{eqnarray*}$ l.u. qed.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »