Halbordnungen und lineare Ordnungen

17.01.2021, 15:30	Gurken-Tom	Auf diesen Beitrag antworten »
Halbordnungen und lineare Ordnungen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe verschiedene Probleme bei folgenden Aufgaben: Betrachten Sie die durch $\begin{eqnarray} ? ?_1 + \end{eqnarray}$ festgelegte lineare Ordnung auf $\begin{eqnarray} M_1 = \left \{ +,- \right \} \end{eqnarray}$ sowie das gewöhnliche Kleiner-Gleich als $\begin{eqnarray} ?_2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} M_2 = \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Gemäß Vorlesung wird auf $\begin{eqnarray} M = M_1 × M_2 \end{eqnarray}$ eine Quasiordnung $\begin{eqnarray} ? \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) ? (y_1,y_2) : ?? (x_1 ? y_1) ? (x_2 ? y_2) \end{eqnarray}$ 1. Zeigen Sie: Für das konkrete Beispiel ist $\begin{eqnarray} ? \end{eqnarray}$ sogar eine Halbordnung auf $\begin{eqnarray} \left \{ +,- \right \} × \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . 2. Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm für die Restriktion $\begin{eqnarray} ?_N \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \left \{ +,- \right \} × [3] \end{eqnarray}$ . 3. Beschreiben Sie alle Teilmengen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , sodass die Restriktion $\begin{eqnarray} \leq_ {\left \{ +,- \right \} × X } \end{eqnarray}$ eine lineare Ordnung auf $\begin{eqnarray} \left \{ +,- \right \} × X \end{eqnarray}$ bildet. 4. Statt Bedingung (1) könnte man auch definieren (lexikographische Ordnung): $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) \sqsubseteq (y_1,y_2) : ?? (x_1 \neq y_1 ? x_1 ?_1 y_1) ? (x_1 = y_1 ? x_2 ?_2 y_2) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass je zwei Elemente aus $\begin{eqnarray} M = M_1 × M_2 \end{eqnarray}$ bzgl. $\begin{eqnarray} \sqsubseteq \end{eqnarray}$ miteinander vergleichbar sind, d.h. für alle $\begin{eqnarray} (x_1,x_2),(y_1,y_2) ? M \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) \sqsubseteq (y_1,y_2) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (y_1,y_2) \sqsubseteq (x_1,x_2) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: 1. Um eine Menge zusammen mit einer Relation als Halbordnung bezeichnen zu können, müssen folgende Eigenschaften gegeben sein: - Reflexivität: Da bei der Kleiner-Gleich-Relation $\begin{eqnarray} ? \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} x?x \end{eqnarray}$ gilt, ist die Relation reflexiv. - Antisymmetrie: Da aus $\begin{eqnarray} x?y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y?x \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ folgt, ist die Relation antisymmetrisch -Transitivität: Da aus $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y<z \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} x<z \end{eqnarray}$ folgt, ist die Relation transitiv. 2. Wenn $\begin{eqnarray} N=\left\{+,-\right\}\times\left[3\right] => N=\left\{-3,+3\right\} \end{eqnarray}$ ? Hierbei bin ich mir unsicher. Wenn nur die Elemente -3 und +3 enthalten sind, wäre das Hasse-Diagramm ja sehr bescheiden. Was heißen in diesem Kontext die eckigen Klammern bei [3]? Ich kenne die Klammern ansonsten von Intervallen. 3. Auch hier bin ich mir unsicher. Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ so gewählt werden soll, dass $\begin{eqnarray} X ? \left \{ +,- \right \} × X \end{eqnarray}$ gelten soll, würde ich $\begin{eqnarray} X=\left\{0\right\} \end{eqnarray}$ angeben. Denn würde ich beispielsweise $\begin{eqnarray} X=\left\{1\right\} \end{eqnarray}$ wählen, wäre $\begin{eqnarray} \left \{ +,- \right \} × X = \left \{ +1,-1 \right \} \end{eqnarray}$ , wobei -1 kleiner 1 ist. 4. Hier fehlt mir ein geeigneter Ansatz. Ich bedanke mich schon jetzt für jede freundliche Unterstützung!
17.01.2021, 18:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte sich jetzt die Mühe machen zu enträtseln, was die einzelnen ? alle bedeuten sollen. Man kann es aber auch sein lassen und stattdessen darauf warten, dass du das in Ordnung bringt, d.h., tatsächlich lesbar machst.

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