Was ist eine Carmichael-Zahl?

17.01.2021, 18:11	Dorian1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist eine Carmichael-Zahl? Meine Frage: Ich verstehe die Difinition auf Wikipedia nicht wirklich. Welche Eigenschaften genau muss eine Carmichael Zahl haben? Meine Ideen: Ich glaube es hat etwas mit den Primzahlen und den Teilen und hoch die Zahl - 1.
17.01.2021, 18:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst doch sicher den Kleinen Satz von Fermat: Der besagt, dass $\begin{eqnarray} a^{p-1}\equiv 1\bmod p \end{eqnarray}$ für alle nicht durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ teilbaren $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gilt. Jetzt fragt man sich, für welche anderen Zahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ (d.h. dann Nichtprimzahlen) ebenfalls $\begin{eqnarray} a^{n-1}\equiv 1\bmod n \end{eqnarray}$ gilt für alle Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , für die man das "vernünftigerweise" überhaupt fordern kann - und das sind nun mal nur die zu $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ teilfremden Zahlen (denn für Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \operatorname{ggT}(a,n)>1 \end{eqnarray}$ kann es generell nicht klappen - warum, überlegst du dir mal selbst). Tja, und alle solche Nichtprimzahlen (= zusammengesetzte Zahl) $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , die das erfüllen, nennt man dann eben Carmichael-Zahl. Dass diese Carmichael-Zahlen nicht gerade dicht gesät sind sieht man schon daran, dass die kleinste solche Zahl 561=31117 ist.

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