Formel für Kegelvolumen

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Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Formel für Kegelvolumen
Unter den vielen Fragen, die hier nur in 'meiner' Zeit schon gestellt worden sind und leider nicht zu Ende besprochen worden sind, ist eine, die mich besonders interessiert: Herleitung der Volumenformel eines Kegels (Pyramide, Halbkugel) ohne Integralrechnung.
Da ich diese interessante Frage weder hier noch sonst wo erklärt gefunden habe, bin ich der Lösung selbst nachgegangen und nach einiger Rechnerei doch auf die bekannte Formel gekommen.

Mein Rechenweg: der Kegel habe die Höhe und den Radius .
Vorerst stelle ich aus kreisförmigen Scheiben (flacher Zylinder) einen kegelähnlichen Körper her, indem ich auf die unterste Scheibe mit Radius und der Höhe zentrisch eine zweite, kleinere lege, deren Radius um kleiner ist.
In dieser Weise fahre ich fort bis zur obersten Scheibe, deren Deckflächenmittelpunkt mit der Kegelspitze zusammenfällt.


[attach]52484[/attach]


Das Volumen dieser groben Annäherung ist also:



Ausquadrieren und in einen Bruch mit Nenner zusammenfassen:



Ich betrachte den Zähler genauer. Es fällt auf, dass

(1) n²r² genau n-mal vorkommt,
(2) während nr² als Faktor an der Reihe 2, 4, 6, ..... 2(n-1)
(3) und an der Quadratsumme 1², 2², . . . (n-1)² hängt.

Der Nenner in der Klammer wandert in den Bruch vor der Klammer.



nr² kann ausgeklammert und der Klammerausdruck weiter vereinfacht werden:



Jetzt den Zähler ausmultiplizieren und n in den Bruch ziehen und weiter ordnen:



Das ist aber immer noch eine Näherungsformel, die Genauigkeit hängt von der Anzahl der Scheiben ab.
Je größer , desto mehr nähert sich der Wert des Bruchs

Für das exakte Volumen ist also der Grenzwert des Bruchs vonnöten.



Damit habe ich was der bekannten Formel entspricht.

Obwohl das Ergebnis stimmt und die Methode auch bei Pyramiden und Kugelvolumen zur richtigen Formel führt, bin ich mir nicht sicher, ob mir bei den vielen Umformungen nicht doch ein Fehler unterlaufen ist.
Wenn jemand den Rechenweg bestätigen könnte, wäre ich froh.
Danke schon mal.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist im Prinzip der gleiche Vorgang, wie er bei dem Riemann-Integral einer Treppenfunktion in einem gegebenen Intervall als Grenzwert der Obersumme für eine unendlich feine Teilung,
somit für berechnet wird.
(Es wird nicht a priori eine Stammfunktion ermittelt, dennoch läuft es auf ein bestimmtes Integral hinaus)

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Herleitung kenne ich aus alten Schulbüchern: den Kegel als Limes eines Treppenkörpers aus Zylinderscheiben auffassen. Und ich stimme mYthos zu, daß das derselbe Prozeß wie bei der Definition des Riemann-Integrals ist. Ich hätte die Sache nur von der anderen Seite her aufgezogen, das heißt den Kegel nicht von unten nach oben, sondern von oben nach unten angesehen, wie es die Strahlensatzfigur nahelegt.

Wenn es Scheiben sind, jede von der Höhe , dann liefert der Strahlensatz für den obersten kleinsten Zylinder den Radius und für den -ten, von oben gerechnet, den -fachen Radius . Der -te Zylinder hat also das Volumen



Das Volumen des Treppenkörpers ist dann



Und daraus erhält man in bekannter Weise mit der Formel für die Summe der Quadrate der ersten natürlichen Zahlen das Kegelvolumen



Es geht natürlich auch, wenn man den Kegel von unten nach oben ansieht. Das führt auf dein . Du nimmst es mir hoffentlich nicht krumm, wenn ich deine Rechnung als umständlich bezeichne. Unter alten Freunden ist so eine Kritik, glaube ich, möglich. Du hast einfach unnötigerweise ausmultipliziert. Hättest du aus jeder Klammer das nach vorne gezogen und quadriert, hättest du sofort



erhalten. Und hier ist die Summe der Quadrate nur anders herum aufgeschrieben.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Euch für die Bestätigung. smile

Zitat:
Original von Leopold
Du nimmst es mir hoffentlich nicht krumm, wenn ich deine Rechnung als umständlich bezeichne.

Da müht man sich ab, rechnet stundenlang, und am Ende wird man madig gemacht! böse

Big Laugh Nein, nein, ist doch OK; dass ich umständlich gerechnet habe, war mir bewusst, aber da ich zum richtigen Ergebnis kam, habe ich keine Vereinfachung angestrebt.

(Es hängt mit meiner Grundeinstellung zusammen, dass mir Umwege nichts ausmachen, wenn ich nur zum Ziel komme. So wie ich beim Bergwandern auch gerne zuerst den Normalweg gehe, der spiralförmig auf den Gipfel führt. Ich bin zwar länger unterwegs, dafür sehe ich mehr als bei der kürzeren, mit Kletterpassagen durchsetzten Route; die kann ich ja später noch immer gehen.)

Der Ansatz 'Von der Kegelspitze nach unten' gefällt mir auch viel besser.
Wieder was gelernt!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Off-topic an Gualtiero:

Bei Ähnlichkeit von Dreiecken frage ich mich immer noch, ob meine Idee angekommen ist oder aber du noch auf eine Reaktion des eigentlichen Fragestellers Franz3.1415 wartest. Letzteres können wir vermutlich langsam vergessen.
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