Ungleichung herleiten

18.01.2021, 18:50	Carokann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung herleiten Meine Frage: Für 3 reelle Zahlen x,y,z gelte $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{eqnarray}$ . Man beweise, dass dann gelte $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{3} \leq x^{4}+y^{4}+z^{4}\leq 1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Stehe auf dem Schlauch
18.01.2021, 19:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray}$ folgt insbesondere $\begin{eqnarray} x^2\leq 1,y^2\leq 1,z^2\leq 1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} x^4 + y^4 + z^4 = x^2\cdot x^2 + y^2\cdot y^2 + z^2\cdot z^2 \leq x^2\cdot 1 + y^2\cdot 1 + z^2\cdot 1 = 1 \end{eqnarray}$ . Die andere Abschätzung (d.h. die nach unten) folgt direkt aus AMQM (Ungleichung zwischen arithmetischen und quadratischen Mittel) oder aber auch aus der CSU (Cauchy-Schwarz-Ungleichung).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »