Grenzwert: Vieleck zu Kreis

18.01.2021, 23:56

Mo93

Grenzwert: Vieleck zu Kreis

Meine Frage:
Es geht mir um die Archimedes-Methode bei der man einen Kreis durch ein inneres und äußeres Vieleck ein- und umschließt. Logischerweise müssen diese Vielecke durch Vergrößerung der Ecken immer näher zu einem Kreis werden.

das innere Vieleck kann man darstellen als:

$\begin{eqnarray*} b_{2n} = \sqrt{a_{2n}*b_{n}} \end{eqnarray*}$

und das äußere Vieleck:

$\begin{eqnarray*} b_{2n} = \frac{2*a_{n}*b_{n}}{a_{n}+b_{n}} \end{eqnarray*}$

dabei beschreibt n die Anzahl der Ecken des Vielecks, also ist oben eine Darstellung gegeben, die die Größe des Umfangs zeigt, wenn die Ecken immer verdoppelt wird, sprich n=1 : Dreieck , n=2 : Sechseck usw...
wenn also n gegen unendlich läuft müsste bei an und bn immer ? rauskommen.

sodass

da $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{2n} \end{eqnarray*}$ für
$\begin{eqnarray*} {n \to \infty } \end{eqnarray*}$ gegen ? laufen müssen, gilt doch:

\lim_{n \to \infty } (a_{2n}-b_{2n}) = 0

Meine Ideen:
ich habe nun vieles versucht und stehe irgendwie auf dem Schlauch. Wie geht man nun generell vor? Versucht man die Terme so umzustellen, dass bei a2n und b2n jeweils, wenn man den Grenzwert nach der Summenregel aufteilt bei beiden ? rauskommt, wenn ich annehme dass an und bn für n gegen Unendlich gegen pi läuft? Oder vllt. eine Einsergänzung in Bezug auf Multiplikation durchführen?

Dankbar für jede Hilfe!

19.01.2021, 00:03

Momo2806

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bins nochmal:

Hab mir einen Account zugelegt,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_{2n}-b_{2n}) = 0 \end{eqnarray*}$ sollte am Ende stehen.

Und oben wo das Fragezeichen ist, sollte stehen, dass für $\begin{eqnarray*} {n \to \infty } \end{eqnarray*}$ bei
$\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{2n} \end{eqnarray*}$ logischerweise Pi rauskommt.

Oder muss ich einfach für jede $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_{2n} \end{eqnarray*}$ einfach Pi einsetzen?
Dann kommt auch bei der Rechnung 0 raus bei mir. Kommt mir aber simpel vor...

19.01.2021, 08:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest du mal damit anfangen zu sagen, was du mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ überhaupt inhaltlich meinst, statt gleich ohne jede Erklärungen irgendwelche Iterationsgleichungen vom Himmel fallen zu lassen. Nur an einer Stelle schimmert im Nebensatz vage durch, was du da zumindest mit $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ meinen könntest:

Zitat:

Original von Mo93
also (?!) ist oben eine Darstellung gegeben, die die Größe des Umfangs zeigt, wenn die Ecken immer verdoppelt wird, sprich n=1 : Dreieck , n=2 : Sechseck usw...

Ob da eine gewisse Normierung stattfindet, d.h. In- oder Umkreisradius gleich 1 o.ä. - ebenfalls Fehlanzeige in punkto Information. Da keine Anfangswerte angegeben wurden, fällt auch diese noch mögliche Informationsquelle aus.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert: Vieleck zu Kreis

Verwandte Themen