Unterschiede multiplikativer Gruppen - Diffie Hellman

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Riesenfaultier Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschiede multiplikativer Gruppen - Diffie Hellman
Hallo,

Folgende Aufgabe:
A und B vereinbaren mittels Diffie-Hellman einen symmetrischen Schlüssel. Bestimmen Sie für folgende Primzahlen ein geeignetes g, a sowie b und berechnen Sie jeweils k. Sehen Sie Unterschiede zwischen den durch die Primzahlen jeweils aufgespannten multiplikativen Gruppen?
P1 = 47
P2 = 31


Für die Berechnung wählte ich folgende Werte
a = 10
b = 26
g = 22

Die Berechnung von k stellte hierbei kein Problem dar.

Für P1 bekam ich den Key 27, für P2 den Key 25.

Leider komme ich bei den Unterschieden bezüglich der aufgespannten Multiplikativen Gruppen nicht weiter. Kann mir jemand von euch erklären, welche Unterschiede hier erkennbar sein sollen und vorallem wie man das erkennt bzw. berechnet?

lg.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüfe ob g=22 eine Primitivwurzel mod p ist für p=p1 und p=p2.
Riesenfaultier Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Soweit ich gerechnet habe ist 22 sowohl eine Primitvwurzel von 47 und 31.

31




47




Was wolltest du mir mit dieser Aussage sagen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es spielt beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch eine Rolle, ob g die prime Restklassengruppe der Ordnung p-1 erzeugt oder nicht. Bei realistischen Codierungen nimmt man große Primzahlen und nicht so winzige wie in deinem Beispiel, und es ist vorteilhaft, als g einen Erzeuger der Gruppe zu haben. In deinem Beispiel ist das leicht zu berechnen, für große Primzahlen nicht.
Riesenfaultier Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

Danke für die Info.

Bezüglich der Eigenschaften von Diffie-Hellman bin ich mir bewusst und auch dass die Primzahlen in der realen Welt weitaus größer sind um Sicherheit zu bieten.
Dieses Beispiel ist bewusst klein gewählt da ich hierbei keinen Taschenrechner verwenden darf.
Ich weiß auch, dass wir bei einem Pseudogenerator das Problem haben, dass es möglicherweise nur auf 2 Werte limitiert ist, weshalb das "brechen" leichter gemacht wird.

Die Frage hierbei ist aber welche Unterschiede ich in den Multiplikativen Gruppen sehe?

Dank deiner Nachfrage konnte ich feststellen, dass beide Gruppen eine Unterschiedliche Anzahl an Generatoren besitzt. 31 besitzt 8 Generatoren, 47 hingegen 22. (mMn. ist dass allein der Größe geschuldet)
Leider kann ich keine anderen Unterschiede feststellen, sollten noch welche Vorhanden sein.

lg.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anzahl der Generatoren ist mit der Eulerschen -Funktion. Sie ist nicht monoton, wie z.B. und zeigt
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe im Zusammenhang mit Diffie-Hellman keinen wesentlichen Unterschied, weil nach deiner Wahl in beiden Gruppen g eine Primitivwurzel der multiplikativen Gruppe ist. Ich wüsste nicht, worauf sonst sich die Frage beziehen könnte.
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