Binomialverteilung - Schulzahnarzt

19.01.2021, 14:49	Binomial123	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung - Schulzahnarzt Meine Frage: Die Aufgabe lautet: 30% aller Schüler haben schadhafte Zähne. Der Schulzahnarzt untersucht an einem Tag die 20 Schüler der dritten Klasse. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Keiner der Schüler hat Zahnschäden B: Nur die ersten vier untersuchten Schüler haben Zahnschäden C: Mindestens einer, aber höchstens fünf Schüler haben Zahnschäden. b) Welche Anzahl von Schülern mit Zahnschäden ist am wahrscheinlichsten? c) Wie viele Schüler muss der Arzt mindestens untersuchen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% wenigstens einen Schüler mit Zahnschäden findet? Meine Ideen: Folgende Ansätze habe ich schon gemacht. a) A: Hier hab ich einfach die Punktwahrscheinlichkeit von P(X=0) genommen und in der Tabelle nachgeschaut. Ergebnis dabei war 0,0008. B: Hier bin ich mir unsicher, wie ich die Reihenfolge berücksichtigen soll. Ich habe einfach P(B)=0,3^4 * 0,7*16 genommen, was dann ungefähr 0,000027 ergibt. C: Hier habe ich die Wahrscheinlichkeit zwischen 1 und 5 betrachtet. Dabei kam ich auf einen Wert von 0,4156. b) Bei b) hab ich den Erwartungswert ausgerechnet. Sowie ich verstanden habe, ist hier die Wahrscheinlichkeit am höchsten. Erwartungswert E(X)=6. c) Bei c hab ich bis jetzt noch keinen Ansatz. Ich hoffe ihr könnt meine Lösungen bestätigen und mir einen Ansatz für Aufgabenteil c) bringen.
19.01.2021, 15:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Deine Mutmaßung "Erwartungswert = wahrscheinlichster Wert" stimmt i.a. nicht, für die Binomialverteilung im besonderen trifft das aber zumindest einigermaßen zu: Die genaue Rechnung ergibt bei Index $\begin{eqnarray} k = \left\lfloor (n+1)p\right\rfloor \end{eqnarray}$ das Maximum der Werte $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ . Ist der Wert $\begin{eqnarray} (n+1)p \end{eqnarray}$ sogar ganzzahlig, dann sind beide Werte $\begin{eqnarray} P(X=k-1)=P(X=k) \end{eqnarray}$ mit diesem $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gleich hohe Maxima. Für $\begin{eqnarray} n=20 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p=0.3 \end{eqnarray}$ bedeutet das tatsächlich Position $\begin{eqnarray} \left\lfloor (n+1)p\right\rfloor = \left\lfloor 21\cdot 0.3\right\rfloor = \left\lfloor 6.3\right\rfloor = 6 \end{eqnarray}$ .
19.01.2021, 15:41	Bernoulli1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Danke! Scheint mir plausibel. Nun fehlt mir nur noch ein Ansatz für c) 😅
19.01.2021, 15:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu c) Im Unterschied zu bisher $\begin{eqnarray} n=20 \end{eqnarray}$ ist hier $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zunächst offen: Es wird gefordert $\begin{eqnarray} P(X\geq 1) = 1-P(X=0) \geq 0.9 \end{eqnarray}$ , d.h. umgestellt $\begin{eqnarray} P(X=0) = 0.7^n \leq 0.1 \end{eqnarray}$ Das lässt sich nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auflösen (Stichwort: logarithmieren).

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