Kreis im Kreissektor

20.01.2021, 17:55

Bibi-2021

Kreis im Kreissektor

Meine Frage:
Hallo zusammen

Brauche eure Hilfe zu dieser Aufgabe:
Vergleiche die Länge des Sektorbogens mit dem Umfang des Kreises.
Der Kreissektor hat einen Winkel von 60°.
Habe zu dieser Aufgabe ein Bild im Word erstellt.

Meine Ideen:
Habe keine Ahnung. Habe mal die Berührungspunkte eingezeichnet und miteinander verbunden. Dann bekomme ich ein gleichseitiges Dreieck. Aber wie kann ich den Radius des kleinen Kreises herausfinden?

20.01.2021, 19:50

Elvis

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Wenn man den Sektor zu einem gleichseitigen Dreieck ergänzt, dann liegen darin 4 kongruente gleichseitige Dreiecke, von denen du bereits eines eingezeichnet hast. Die Winkelhalbierenden sind gleichzeitig die Höhen und Seitenhalbierenden. Damit müsste sich doch was machen lassen ... es kommt ein sehr einfaches Verhältnis zwischen dem Inkreisradius r und dem Sektorradius R heraus.

20.01.2021, 20:03

Bibi-2021

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Wieso bin ich nicht schon vorher drauf gekommen? Hammer

Vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen smile

20.01.2021, 20:09

Elvis

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Es dauert immer ein Weilchen bevor man eine Idee hat, das ist normal. Man muss nur solange auf einem kleinen Blatt Papier herumkritzeln bis man soweit ist. Und wenn das heute nicht in einer halben Stunde fertig ist, dann eben morgen.

20.01.2021, 21:11

mYthos

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Alternative: Ähnlichkeit:

r : (R - r) = 1 : 2

r = R/3

mY+

21.01.2021, 10:17

quadrierer

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Dieser mit 60° betrachtete Fall von Kreisberührungen mit Begrenzungslinien eines Kreissektors ist ein Spezialfall, bei dem sin 60° und cos 60° leicht konstruiert werden können. Der allgemeinere Fall mit beliebig grossem Winkel wurde hier im Forum bereits im Beitrag vom 2.1.2021 „ Zwei Kreis berühren einander“ betrachtet und gelöst.

21.01.2021, 10:55

Elvis

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Zitat:

Original von mYthos
r : (R - r) = 1 : 2
mY+

Wie sieht man das ? Ich komme erst durch Höhe $\begin{eqnarray*} R=\frac a 2 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ , Inkreisradius $\begin{eqnarray*} r=\frac a {2\sqrt 3} \end{eqnarray*}$ auf die Lösung $\begin{eqnarray*} r=\frac R 3 \end{eqnarray*}$ .

21.01.2021, 11:26

Gualtiero

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Hier ist eine Schnellskizze zum Thema.

[attach]52502[/attach]

21.01.2021, 14:27

mYthos

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Zitat:

Original von Elvis
....
Wie sieht man das ? ...

So, mal eine ganz schnelle Handskizze hingeworfen (Hab' grad keinen PC) ...

[attach]52510[/attach]

mY+

21.01.2021, 18:24

Elvis

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Noch schneller: $\begin{eqnarray*} sin(30°)=\frac 1 2=\frac r{R-r} \end{eqnarray*}$
Allerdings sehe ich das erst nach hinreichend langem Betrachten der Skizzen.

21.01.2021, 20:43

quadrierer

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Hier sieht man schon etwas mehr!
Mir ist nicht so recht klar, warum man das Bild erst nach einem Anklicken richtig sehen kann?
[attach]52504[/attach]

22.01.2021, 02:33

mYthos

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Wir sind in der Schulmathematik. Vielleicht sind bei Bibi noch nicht einmal die Winkelfunktionen bekannt.
Deswegen die Proportion (nur) mit der Ähnlichkeit.
----------

Ich kann mir nicht helfen, die Grafik von quadrierer mag durchaus viel können, aber sie zeigt auch, wie ein simpler Zusammenhang ziemlich verkompliziert werden kann.
Ich sehe mich aus dem Gewirr von Linien und Kreisen jedenfalls nicht richtig heraus Big Laugh

mY+

22.01.2021, 08:30

HAL 9000

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Im Zusammenhang mit "Kreis im Kreissektor" fällt mir eine Zusatzfrage ein:

Bei welchem Kreissektorwinkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der Flächenanteil des einbeschriebenen Kreises bezogen auf die Kreissektorfläche am größten?

22.01.2021, 08:33

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von mYthos
r : (R - r) = 1 : 2
mY+

Wie sieht man das ?

Ein rechtwinkliges Dreieck mit einem 30°-Winkel ist ein durch eine Symmetrieachse halbiertes gleichseitiges Dreieck.

Zitat:

Original von Elvis
Noch schneller: $\begin{eqnarray*} sin(30°)=\frac 1 2=\frac r{R-r} \end{eqnarray*}$

Diese Sinus-Beziehung ist gerade der Ausfluß der oben genannten elementargeometrischen Erkenntnis (Gegenkathete/Hypotenuse)

@ mYthos

Irgendwie versucht quadrierer, diese Aufgabe seinem allgemeiner gestellten Problem "Zwei Kreise berühren einander" unterzuordnen. Kann man natürlich machen. Aber erstens bringt das keine Erleichterung und zweitens kommt man am Sinus des 30°-Winkel, wie auch immer ins Spiel gebracht, nicht vorbei.

22.01.2021, 17:38

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
Bei welchem Kreissektorwinkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der Flächenanteil des einbeschriebenen Kreises bezogen auf die Kreissektorfläche am größten?

Als Extremwertaufgabe gelöst. Geht allerdings nur näherungsweise bei Bestimmung der Nullstelle der Ableitung..

$\begin{eqnarray*} r = \frac {R \sin x}{\sin x + 1}, \ \ \text{wobei } x = \frac{\alpha} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Flächenverhältnis }v = \frac{\pi \cdot (\sin x)^2}{x(\sin x + 1)^2} \ \to \ \text{Max.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\alpha} 2 = 0.7101 rad \ (\equiv 40.7°); \alpha = 81.4°; \ v = 0.689 \text{ (Flächenverhältnis)} \end{eqnarray*}$

EDIT: Flächenverhältnis korrigiert!

mY+

23.01.2021, 20:47

quadrierer

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Zitat:

Original von mYthos
.... ziemlich verkompliziert ....
Ich sehe mich aus dem Gewirr von Linien und Kreisen jedenfalls nicht richtig heraus Big Laugh

mY+

Werden im Bild vom 21.01.2021 die weiterführenden Zusammenhänge hin zum Parabelproblem weggelassen, bleibt der folgende Kernzusammenhang. Einfacher und umfassender ist wohl kaum möglich?

Zum Vergrössern bitte anklicken.
[attach]52512[/attach]

25.01.2021, 13:31

mYthos

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Ok, ja, verständlich(er) ist es.
Dennoch sehe ich - für diese Aufgabe alleine - die Ähnlichkeitsmethode als einfacher.

mY+

27.01.2021, 15:03

quadrierer

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Zitat:

Original von mYthos
Ok, ja, verständlich(er) ist es.
Dennoch sehe ich - für diese Aufgabe alleine - die Ähnlichkeitsmethode als einfacher.

mY+

Wie sieht diese Methode gegenüber
[attach]52512[/attach]
aus?

Warum wird das Bild nicht mehr gezeigt?

27.01.2021, 15:24

mYthos

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.. ist mir leider auch schon aufgefallen. Dein Bild kann dem Link [attach]52512[/attach] im Beitrag - weshalb auch immer - nicht mehr zugeordnet werden.

Im EDIT-Modus (Dateianhänge) kannst du diesen Link löschen und das Bild neu hochladen!

mY+

28.01.2021, 11:19

quadrierer

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Zitat:
Original von mYthos
Ok, ja, verständlich(er) ist es.
Dennoch sehe ich - für diese Aufgabe alleine - die Ähnlichkeitsmethode als einfacher.

mY+
_______________

Worin unterscheidet sich die einfachere Ähnlichkeitsmethode gegenüber dem Bild vom 27.01.2021, das ich hier nochmals hochlade.
[attach]52549[/attach]
aus?

28.01.2021, 18:43

mYthos

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Nun ja, die nicht zum Anfangsproblem gehörende) Kreise (möglicherweise Konstruktionslinien) machen das Ganze etwas unübersichtlich.
Und dann drängt sich die Proportion (R - r1) : r1 = (R - 2r1) : r1/2 auch nicht so ohne Weiteres auf.
R - 2r1 ist zwar klar zu sehen, r1/2 folgt aber erst aus der Inkreiseigenschaft beim gleichseitigen Dreieck, das könnte man vielleicht noch markieren.

Warum also nicht (R - r1) : r1 = 2 : 1 (oder meinetwegen R : R/2), das habe ich mit "einfacher" gemeint.

Ansonsten ist dieser Weg - wie auch viele andere - natürlich ebenso gangbar.

mY+

29.01.2021, 17:12

quadrierer

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Zitat:

Original von mYthos

Geht allerdings nur näherungsweise bei Bestimmung der Nullstelle der Ableitung..

Für mich ist deine Aussage zu missverständlich. Deshalb wünsche ich mir hier noch etwas Erklärung.

Ist deine hergeleitete Formel (Rechenvorschrift) tatsächlich nur ein genäherter Zusammenhang, mit dem nur ein beschränktes Annähern ans Maximum erreicht wird, das durch immer mehr investiertem Rechenaufwand nicht verbessert werden kann?

Deine Rechenvorschrift ist ein exakter Zusammenhang, mit dem vom Prinzip her ein unbeschränktes Annähern an die Stelle des Maximums möglich ist. Dies schlägt sich in immer mehr berechenbaren wahren Nachkommastellen nieder. Die nicht vollständige Darstellung der Ergebnisgrösse mit nur endlos vielen wahren Nachkommastellen geht hier nicht von einer genäherte Rechenvorschrift aus, sondern von objektiven Beschränkungen bei Zeit und Aufwand. Wird eine solche exakte unvollendete Ergebnisdarstellung als Näherung hingestellt, kann dies zu Missverständnissen führen.

03.02.2021, 12:13

quadrierer

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Zitat:

Original von mYthos

Als Extremwertaufgabe gelöst. Geht allerdings nur näherungsweise bei Bestimmung der Nullstelle der Ableitung..

$\begin{eqnarray*} r = \frac {R \sin x}{\sin x + 1}, \ \ \text{wobei } x = \frac{\alpha} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Flächenverhältnis }v = \frac{\pi \cdot (\sin x)^2}{x(\sin x + 1)^2} \ \to \ \text{Max.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\alpha} 2 = 0.7101 rad \ (\equiv 40.7°); \alpha = 81.4°; \ v = 0.689 \text{ (Flächenverhältnis)} \end{eqnarray*}$

EDIT: Flächenverhältnis korrigiert!

mY+

Das legt eine Aufgabenerweiterung nahe.
Wie sieht hier eine klassische DGS-Lösungskonstruktion nur mit Kreisen und Geraden aus, mit der man sich im Zugmodus dem Extrenwert-Winkel unbeschränkt nähern kann? Möglich wird dies mit einem klassich konstruiertem Grenzprozess für die Sektorfläche.

03.02.2021, 15:47

mYthos

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Zitat:

Original von quadrierer
...
Die nicht vollständige Darstellung der Ergebnisgrösse mit nur endlos vielen wahren Nachkommastellen geht hier nicht von einer genäherte Rechenvorschrift aus, sondern von objektiven Beschränkungen bei Zeit und Aufwand. Wird eine solche exakte unvollendete Ergebnisdarstellung als Näherung hingestellt, ...

Doch IST es eine Näherung (Abbruch nach vorgegebener Anzahl von Dezimalstellen), denn das Ergebnis stammt z.B. von einer Iteration nach dem Newton'schen Näherungsverfahren oder auch der Regula Falsi.

mY+

03.02.2021, 17:36

quadrierer

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Zitat:

Original von mYthos

Doch IST es eine Näherung (Abbruch nach vorgegebener Anzahl von Dezimalstellen), denn das Ergebnis stammt z.B. von einer Iteration nach dem Newton'schen Näherungsverfahren oder auch der Regula Falsi.

mY+

Ich sehe es so.
Missverständlich wird es, wenn von einer unvollständig genähert dargestellten Ergebnis-Grösse nach endlich vielen Schritten auf einen nur genäherten Ergebnis-Berechnungsprozess gefolgert wird. In vielen Fällen wird aber mit immer mehr ausgeführten Schritten dem exakten Ergebnis (einem Grenzwert) immer weiter zugestrebt. Dann ist der Berechnungsprozess ein exakter und kein genäherter. So ist für mich das Newton`sche Verfahren keine Näherung, auch wenn es nur unvollständig dargestellte Zwischenergebnisse nach endlich vielen Schritten liefert.

05.02.2021, 17:39

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Im Zusammenhang mit "Kreis im Kreissektor" fällt mir eine Zusatzfrage ein:

Bei welchem Kreissektorwinkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der Flächenanteil des einbeschriebenen Kreises bezogen auf die Kreissektorfläche am größten?

Klassich konstruierte Extremwertfindung:

Das grösste Verhältnis v = Kreisfläche / Kreissektorfläche ist bei bewegten Zentriwinkel dann erreichet, wenn die Differenz vom Kreisdurchmesser zur Seite des zum Kreissektor flächengleichen Quadrates ein Minimum wird. Diese Lösungskonstellation zeigt das folgende Bild, wobei die Strecke | $\begin{eqnarray*} O_{1}F_{3} \end{eqnarray*}$ | die Minimumstrecke ist.
[attach]52635[/attach]

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