Beweis Brüche

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Peggy2021 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Brüche
Meine Frage:
Ich benötige bitte Hilfe bei er folgenden Aufgabe:

a, b, und c seinen positive reelle Zahlen.

Beweise folgende Aussage:

(siehe Bild)


Meine Ideen:
Ich habe den Hauptnenner gebildet, bin aber leider damit nicht weitergekommen, daher hier meine Frage!

Danke Peggy
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere die Ungleichung mit abc(a+b)(a+c)(b+c), löse alle Klammern auf und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten. Was bleibt übrig ?
Pegy2021 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

beide Seiten der Ungleichung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, schon einigermaßen knifflig. Kann sein, dass meine Lösung überumständlich ist, aber zumindest funktioniert sie erstmal:

Die rechte Seite nach links gebracht sowie (wie von Elvis) vorgeschlagen mit multipliziert ist die nachzuweisende Ungleichung äquivalent zu



(zugegebenermaßen mit ein wenig CAS-Unterstützung berechnet). Die verbleibende Beweisarbeit kann man mit der AMGM-Ungleichung bewältigen:



Ringtausch ergibt zwei weitere solche Ungleichungen



, (EDIT: Copy+Paste-Fehler in dieser Zeile korrigiert)

und die Summe aller drei Ungleichungen das just gewünschte .

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Interessanter wäre wohl aber eine Beweisvariante für das (mutmaßlich) auch geltende, allgemeinere



(Indizes modulo betrachtet), gültig für alle und positive . Sehe aber momentan nicht, wo und wie man da einen (induktiven) Hebel ansetzen könnte. verwirrt
Peggy2021 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

zunächst vielen Danke für deine Mühe!

Die Umformung kann ich gut nachvollziehen, aber das mit dem Ringtausch verstehe ich absolut nicht.
Kann man denn die einzelnen Variablen (die ja vermutlich alle andere Werte haben) einfach gegeneinander austauschen?

Die Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel kenne ich zwar, aber ich sehe (noch) keine Verbindung zu deinen Ausführungen, da es doch 3 Werte sind und keine 7?


Peggy
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peggy2021
Die Umformung kann ich gut nachvollziehen, aber das mit dem Ringtausch verstehe ich absolut nicht.

Ist es nur der Begriff? Dann eben "zyklische Vertauschung".

Zitat:
Original von Peggy2021
Die Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel kenne ich zwar, aber ich sehe (noch) keine Verbindung zu deinen Ausführungen, da es doch 3 Werte sind und keine 7?

Doch, es sind 7, ausführlichst geschrieben:

.
 
 
Pegy2021 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

nein der Begriff ist es nicht, sondern die Methode smile .

Ich verstehe noch nicht, das man die einzelnen Variablen, die ja alle einen (verschiedenen) Wert besitzen, einfach so austauschen kann.

Die Sache mit den 7 Werten bei der Mittelwertbildung habe ich aber jetzt verstanden :-).


Peggy
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann eben nochmal die lange Tour: Auch dort noch jeweils zweimal AMGM



,

Ich sehe gerade, bei der letzten Ungleichung hatte ich oben einen Copy+Paste-Fehler - hoffentlich war nicht der der Grund für dein "Unverständnis" des Verfahrens.

==============================================================

Ich unternehme trotzdem nochmal einen letzten Versuch, das mit der zyklischen Vertauschung zu erklären - kann doch nicht wahr sein, dass jemand sich so störrisch diesem banalen Prinzip verweigert: Ich hatte oben nachgewiesen

Zitat:
, gültig für ALLE positiven reellen Zahlen .

Jetzt nutze ich diese Aussage speziell für , dann bekommt man

Zitat:
, gültig für alle positiven reellen Zahlen .

Diese letztere Aussage nutze ich nun wieder für und erhalte

Zitat:
, gültig für alle positiven reellen Zahlen .

DAS ist zyklische Vertauschung, bis zum Erbrechen in einzelste Bestandteile zerlegt...
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