Ähnlichkeit von Darstellungsmatrizen

21.01.2021, 17:21

Sora241521

Ähnlichkeit von Darstellungsmatrizen

Meine Frage:
Ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Sie V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [latex] B = (b_1,...,b_n), B' = (b'_1, ... b'_n) [\latex] Basen von V. Seien weiterhin [latex] \psi, \psi': V \rightarrow K^n [\latex] die Isomorphismen definiert durch [latex] \psi(b_i) =e_i, \psi'(b'_i)=e_i[\latex] für alle i=1,...,n.
Zeigen Sie, dass für zwei ähnliche Matrizen [latex]A,A' \in K^{n\times n}[\latex] immer eine lineare Abbildung f:V->V existiert, sodass die Darstellungsmatrix von [latex] \psi\circ f\circ\psi^{-1}[\latex] durch A und die Darstellungsmatrix von [latex] \psi'\circ f\circ\psi'^{-1}[\latex] durch A' gegeben ist

Meine Ideen:
Die umgekehrte Richtung konnte ich schon zeigen, indem ich mit den Darstellungsmatrizen der einzelnen Funktion hantiert habe, aber für die umgekehrte Richtung weiß ich nicht, wie ich das handhaben sollte.

21.01.2021, 18:29

Elvis

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RE: Ähnlichkeit von Darstellungsmatrizen

Zitat:

Original von Sora241521
Meine Frage:
Ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Sie V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} B = (b_1,...,b_n), B' = (b'_1, ... b'_n) \end{eqnarray*}$ Basen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Seien weiterhin $\begin{eqnarray*} \psi, \psi': V \rightarrow K^n \end{eqnarray*}$ die Isomorphismen definiert durch $\begin{eqnarray*} \psi(b_i) =e_i, \psi'(b'_i)=e_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass für zwei ähnliche Matrizen $\begin{eqnarray*} A,A' \in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ immer eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V->V \end{eqnarray*}$ existiert, sodass die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \psi\circ f\circ\psi^{-1} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \psi'\circ f\circ\psi'^{-1} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ gegeben ist

Meine Ideen:
Die umgekehrte Richtung konnte ich schon zeigen, indem ich mit den Darstellungsmatrizen der einzelnen Funktion hantiert habe, aber für die umgekehrte Richtung weiß ich nicht, wie ich das handhaben sollte.

Latex Ende mit / statt \

22.01.2021, 12:45

Elvis

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Welche umgekehrte Richtung hast du bereits gezeigt ? Es gibt in der Behauptung nur eine Richtung: zu zwei ähnlichen Matrizen A,A' gibt es eine lineare Abbildung f. Wie ist die Änlichkeit von 2 Matrizen definiert ?

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