Was ist die nte Ableitung von Wurzel(2+x)

21.01.2021, 18:01

SonnenscheinLacht

Was ist die nte Ableitung von Wurzel(2+x)

Meine Frage:
Kann mir jemand erklären was die nte Ableitung von (2+x)^0.5 ist?

Vielen Dank im Voraus!
LG

Meine Ideen:
Ich weiss, dass, wenn man die Ableitungen runtergeht (x+2) immer im Nenner steht und sich der Exponent von (x+2) immer um 1 erhöht. Dennoch verstehe ich die Relation zwischen -1/4, 3/8, -15/16 ... , in der zweiten, dritten, und vierten Ableitung, nicht.

21.01.2021, 18:12

G210121

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RE: Was ist die nte Ableitung von Wurzel(2+x)
Kettenregel anwenden:

-->0,5*(2+x)^(-0,5)*1 = 0,5*(2+x)^(-0,5)

2.Ableitung: -0,25*(2+x)^(-1,5)

Du solltest das Schema leicht erkennen.

21.01.2021, 18:33

HAL 9000

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Den entstehenden Vorfaktor bei der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Ableitung "geschlossen" zu schreiben, dazu gehört etwas Übung mit Fakultäten: $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = a_n \cdot (2+x)^{0.5-n} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\cdot \ldots \left(-\frac{2n-3}{2}\right) = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n-3)!!}{2^n} \end{eqnarray*}$

gültig für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Das jetzt WIRKLICH mit normalen Fakultäten zu schreiben, bedarf es eines Erweiterungstricks:

$\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n-3)!! (2n-2)!!}{2^n\cdot (2n-2)!!} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n-2)!}{2^n\cdot 2^{n-1} (n-1)!} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n-2)!}{2^{2n-1} (n-1)!} \end{eqnarray*}$ .

Wie der Zufall so spielt, gilt der allerletzte Term dann sogar auch für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern