Zeigen Sie: 2 rg(g o f) - dim(V ) <= rg(f o g)?

22.01.2021, 21:40	Sapto	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen Sie: 2 rg(g o f) - dim(V ) <= rg(f o g)? Da ich ausversehen in das Schulmathematik Forum gepostet habe, hier nochmal der Beitrag: Hallo! Ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe: Aufgabe: Seien K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Seien f, g Endomorphismen von V . Zeigen Sie: 2 rg(gof) - dim(V ) <= rg(fog) Problem/Ansatz: Bisher gefolgert habe ich: rg(f o g)=dim(im(g))-dim(ker(f(im(g))) rg(g o f)=dim(im(f))-dim(ker(g(im(f))) dim(V) = dim(im(f)) + dim(ker(f)) Durch Einsetzen folgte: 2(dim(im(f))-dim(ker(g(im(f)))) -(dim(im(f)) + dim(ker(f))) <= dim(im(g))-dim(ker(f(im(g))) <=> 2dim(im(f))-2dim(ker(g(im(f))) -dim(im(f)) - dim(ker(f))) <= dim(im(g))-dim(ker(f(im(g))) <=> dim(im(f))-2dim(ker(g(im(f))) - dim(ker(f))) <= dim(im(g))-dim(ker(f(im(g))) Leider komme ich hier nicht weiter... Würde mich über Hilfe freuen!
23.01.2021, 11:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen Sie: 2 rg(g o f) - dim(V ) <= rg(f o g)? Hi, ich bin mir noch nicht sicher wie es zuende geht, aber ich denke es ist keine gute Idee $\begin{eqnarray} \mathrm{dim} V \end{eqnarray}$ in der Form eines einzigen Endomorphismus auszudrücken. Da sowohl $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ alles Endomorphismen sind, kann man die Dimensionsformel auf alle anwenden. Andersrum sieht es weniger "willkürlich aus": $\begin{eqnarray} \mathrm{rg}( f \circ g) = \mathrm{dim}(V) - \mathrm{def}(f\circ g) \end{eqnarray}$ . Damit erhält man die äquivalente Ungleichung zu zeigen: $\begin{eqnarray} \mathrm{def}( f \circ g) \leq 2 \mathrm{def} (g \circ f) \end{eqnarray}$ . Das ist der Hauptpunkt der zu zeigenden Ungleichungen: Wie kann sich der Kern verändern, wenn man die Reihenfolge der Abbildungen tauscht. Die Ungleichung sieht "plausibel" aus, aber ich sehe keinen direkten Weg Vorwärts.

1

Verwandte Themen