Uneigentliches Integral erkennen

23.01.2021, 17:04

Mathman91

Uneigentliches Integral erkennen

Hallo,

eine Frage zum uneigentlichen Integral.
Woran erkennt man, dass es sich bei einem Integral um ein uneigentliches Integral handelt?

Wenn ich z.B. habe: $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{x^{2}} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß, wenn ich die Funktion zeichne, dass die Funktion an der Stelle x=0 eine Polstelle besitzt.
Somit habe ich eine nicht definierte Stelle und ein uneigentliches Integral.
Gesehen habe ich das, weil ich die Funktion gezeichnet habe.

Was mache ich aber, wenn ich keine Zeit habe die Funktion zu zeichnen, wie erkenne ich das dann?

Einfach immer schauen, ob beim Einsetzen von x=0 die Funktion 0 wird?

Viele Grüße

23.01.2021, 17:43

klauss

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RE: Uneigentliches Integral erkennen

Zitat:

Ich weiß, wenn ich die Funktion zeichne, dass die Funktion an der Stelle x=0 eine Polstelle besitzt.

Na ja, 1. kann man das hier der Funktion sofort mit bloßem Auge ansehen, 2. sollte man Polstellen im Rahmen der Kurvendiskussion vorrangig rechnerisch nachweisen, bevor man zeichnet.

Zitat:

Somit habe ich eine nicht definierte Stelle und ein uneigentliches Integral.

Der Konsekutivsatz kann nicht gültig sein.
Entscheidend ist hier, dass es sich um eine Polstelle handelt, über die man nicht hinwegintegrieren darf.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{x^{2} } \, dx \neq \int_{-1}^{0} \! \frac{1}{x^{2} } \, dx +\int_{0}^{1} \! \frac{1}{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ ; die beiden letzteren existieren nicht.
Nicht definierte Stellen könnten auch hebbare Lückenstellen oder Sprungstellen im Innern eines Integrationsintervalls sein, wo das Integral durchaus existieren kann.

Zitat:

Einfach immer schauen, ob beim Einsetzen von x=0 die Funktion 0 wird?

Ist natürlich auch keine sinnvolle Aussage, zumal es hier um die Nullstelle des Nenners geht, nicht die Funktion insgesamt.

24.01.2021, 14:10

Mathman91

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Sorry, aber das verstehe ich jetzt nicht.

24.01.2021, 14:15

Mathman91

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Wie muss ich hier voran gehen?

24.01.2021, 14:36

klauss

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Zitat:

Original von Mathman91
Wie muss ich hier voran gehen?

Um was zu erreichen?

Willst Du diesem speziellen Integral einen Wert zuweisen? Vielleicht läßt sich aus dem ähnlichen Beispiel an dieser Stelle etwas ziehen.

Ansonsten müßtest Du genauer beschreiben, worum es Dir geht. Für die Untersuchung von Polstellen bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es ja ein klares Prüfungsschema.

25.01.2021, 13:56

Mathman91

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Mein Problem ist einfach, das ich das Integral als ein ganz klassisches betrachten würde, wenn nicht in der Angabe stehen würde, dass es sich hier um ein uneigentliches handelt.
Auf was muss ich achten, dass ich das sehe?

Ich sehe das auf den ersten Blick nicht.

Das ist das Problem.

25.01.2021, 13:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathman91
Mein Problem ist einfach, das ich das Integral als ein ganz klassisches betrachten würde

Als klassisches Riemann-Integral? Kann der Polstelle mitten im Integrationsintervall wegen keins sein. unglücklich

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Du meinst vermutlich die naive Rechnung

1) Unbestimmtes Integral $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x^2} ~ \dd x = -\frac{1}{x} + C =: F(x) \end{eqnarray*}$

2) Bestimmtes Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 \frac{1}{x^2} ~ \dd x \stackrel{?}{=} F(1)-F(-1) = -2 \end{eqnarray*}$

Kann man natürlich erstmal ohne Nachdenken so durchziehen. Wenn man jetzt aber auf das Ergebnis schaut, und darüber nachdenkt, dass der Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ doch eigentlich durchgehend positiv ist, dann sollten EIGENTLICH alle Warnleuchten bei einem negativen Integralwert angehen. Ich gebe allerdings zu, dass bei vielen dieses Warnsystem wohl nicht aktiviert ist...

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