Differentialgleichungssystem

24.01.2021, 14:00

Novae

Differentialgleichungssystem

Meine Frage:
Hallo zusammen

Gegeben ist folgendes Differentialgleichungssystem
$\begin{eqnarray*} x''(t)=-2x(t)+y(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''(t)=x(t)-2y(t)+a\sin(\omega t ) \end{eqnarray*}$
Gibt es da eine analytische Lösung?

Danke im voraus

Meine Ideen:
Ohne Sinus ist es ganz gut lösbar
Aber mit Sinus bin ich überfragt

25.01.2021, 14:32

Ehos

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In diesem speziellen Fall lässt sich das Gleichungssystem entkoppeln, indem man beide Gleichungen addiert bzw. subtrahiert. Das ergibt folgende zwei Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x''+y''=-x-y+a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x''-y''=-3x+3y-a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Darin führe folgende 2 neue Variablen ein

$\begin{eqnarray*} z_1=x+y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=x-y \end{eqnarray*}$

Einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} z_1''=-z_1+a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2''=-z_2-a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Das sind zwei entkoppelte Differentialgleichugen für die neuen Funktionen $\begin{eqnarray*} z_1(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2(t) \end{eqnarray*}$ , die du unabhängig voneinander lösen kannst. Anschließend mache die Rücktransformation!!!

Diese einfache Entkopplung funktioniert hier rein zufällig. Aus pädagogischer Sicht ist diese Aufgabe also schlecht gewählt. Deshalb solltest du dich auch mit dem allgemeinen Lösungsverfahren von linearen Dgl-Gleichungssystemen beschäftigen.

25.01.2021, 15:14

HAL 9000

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@Ehos

Kleiner Schreibfehler, bei der zweiten Gleichung fehlt der Vorfaktor

$\begin{eqnarray*} z_2'' = -3z_2 - a\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

So langweilig das System auch sein mag, es gibt dennoch einiges zu beachten: z.B. Resonanz in den Spezialfällen $\begin{eqnarray*} \omega = 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . smile

25.01.2021, 15:21

Ehos

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@ HAL 9000
Danke für die Korrektur.

25.01.2021, 18:14

Novae

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Zitat:

Original von Ehos
In diesem speziellen Fall lässt sich das Gleichungssystem entkoppeln, indem man beide Gleichungen addiert bzw. subtrahiert. Das ergibt folgende zwei Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x''+y''=-x-y+a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x''-y''=-3x+3y-a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Darin führe folgende 2 neue Variablen ein

$\begin{eqnarray*} z_1=x+y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=x-y \end{eqnarray*}$

Einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} z_1''=-z_1+a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2''=-3z_2-a\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Das sind zwei entkoppelte Differentialgleichugen für die neuen Funktionen $\begin{eqnarray*} z_1(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2(t) \end{eqnarray*}$ , die du unabhängig voneinander lösen kannst. Anschließend mache die Rücktransformation!!!

Genialer Lösungsweg. Vielen Dank

Im Bild der physikalische Hintergrund

25.01.2021, 21:52

Ehos

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@Novae
Aah - gekoppelter Federschwinger. Schöne Aufgabe.

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