Betragsungleichung unklare Lösung

24.01.2021, 13:35

Mathman91

Betragsungleichung unklare Lösung

Hallo,

ich habe folgende Betragsungleichung berechnet:

$\begin{eqnarray*} |x-1|\geq |x+2| \end{eqnarray*}$

Ich habe als Lösung: $\begin{eqnarray*} -0,5 \end{eqnarray*}$ erhalten.

Leider ist das nicht ganz richtig, es muss $\begin{eqnarray*} {-\infty; -0,5} \end{eqnarray*}$ lauten.

Mir wurde gesagt, das dieser Fall auch eine Lösung habe: $\begin{eqnarray*} -(x-1)\geq -(x+2) \end{eqnarray*}$

Ich komme hier auf: $\begin{eqnarray*} 0 \geq -3 \end{eqnarray*}$ und das ist keine Lösung.

Woher kommt nun das: $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2021, 13:45

IfindU

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RE: Betragsungleichung unklare Lösung

Zitat:

Original von Mathman91
Ich komme hier auf: $\begin{eqnarray*} 0 \geq -3 \end{eqnarray*}$ und das ist keine Lösung.

Dann gib doch mal ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ an, bei der Ungleichung verletzt ist Augenzwinkern

24.01.2021, 14:41

G240121

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RE: Betragsungleichung unklare Lösung
Du musst 3 Fälle unterscheiden:

$\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2<=x<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>=1 \end{eqnarray*}$

24.01.2021, 15:06

HAL 9000

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Alternativ geht es auch ohne Fallunterscheidung. Da linke und rechte Seite durch die Betragsbildung automatisch $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sind, ist Quadrieren hier eine Äquivalenzumformung:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \geq (x+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1 \geq x^2+4x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\leq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

24.01.2021, 15:10

klauss

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RE: Betragsungleichung unklare Lösung
@Mathman91:
Du hast hier drüben einen graphisch motivierten Schluß gezogen.
Das wäre nun gerade bei dieser Aufgabe nützlich. Es geht hier um den Vergleich zweier verschobener Betragsfunktionen mit der Frage:
Für welche x liegt der rote Graph oberhalb des grünen oder schneidet diesen?

[attach]52519[/attach]

24.01.2021, 15:55

rumar

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RE: Betragsungleichung unklare Lösung
Man kann diese Ungleichung sehr leicht in äußerst anschaulicher Weise lösen:

Markiere auf der Zahlengeraden die beiden Punkte A und B mit $\begin{eqnarray*} x_A = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_B = -2 \end{eqnarray*}$ .

Die Lösungsmenge der Ungleichung wird dann repräsentiert durch die Menge aller Punkte der x-Achse, welche näher bei B als bei A liegen (oder im Grenzfall genau gleich weit entfernt von beiden Punkten).

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