Teilbarkeitsbeweis

24.01.2021, 18:15	Jessica_	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsbeweis Es seien $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Implikation $\begin{eqnarray} 3\|(a^2+b^2) \to 3\|a \wedge 3\|b \end{eqnarray}$ Und wir dürfen folgende Aussage dafür verwenden: $\begin{eqnarray} \exists !k \in \mathbb{Z}, \exists !r \in \mathbb{N}_{0} : z = kn+r \wedge 0 \leq r < \|n\| \end{eqnarray}$ Ideen: $\begin{eqnarray} 3\|(a^2+b^2) \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{N} : 3 \cdot \lambda = a^2+b^2 \end{eqnarray}$ Und hier an der Stelle weiß ich leider nicht weiter. Danke schonmal.
24.01.2021, 19:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Kongruenzrechnung modulo 3 sieht man das sehr schnell und einfach. Es muss aber auch kompliziert gehen. Überlege, welchen Rest a² und b² bei Division durch 3 lassen, wenn a oder b nicht durch 3 teilbar sind.
25.01.2021, 11:14	Jessica_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} 3 \nmid a \end{eqnarray}$ oBdA. Dann gilt $\begin{eqnarray} a=3k+c \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c = \{1,2\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a^2 = (3k+c)^2 \end{eqnarray}$ Fall 1: $\begin{eqnarray} c=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2 = (3k)^2 + 6k +1 = 3 \cdot b + 1 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} b = 3k+2 \end{eqnarray}$ Welche Aussagen kann ich aber jetzt darüber treffen?
25.01.2021, 11:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fall 1: $\begin{eqnarray} c=1\Rightarrow a^2=3x+1 \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} c=2\Rightarrow a^2=3y+4=3z+1 \end{eqnarray}$ Nun sieh dir noch einmal die Gleichung $\begin{eqnarray} 3\lambda=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ an.

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