Unleserlich! Funktionsuntersuchungen

24.01.2021, 18:50	memo5792	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsuntersuchungen Meine Frage: : Gegeben sei die Funktion f : I ? R mit f(x) = x^x , wobei I = (e^?1,?)ist. a) Zeigen Sie, dass f injektiv ist. Sie durfen wie in der Vorlesung die Tatsache verwenden, dass aus f0 > 0 (f0 < 0) folgt, dass f streng monoton steigend(fallend) ist. b) Bestimmen Sie die Bildmenge f(I). Zeigen Sie, dass f eine Umkehrfunktion g : f(I) ? I besitzt. Sie brauchen keine Funktionsvorschrift fur g angeben. c) Bestimmen Sie g'(1) mit Hilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen. ¨ d) Leiten Sie die Gleichung g(x)^g(x) = x zweimal ab und benutzen Sie ihr Ergebnis, um g''(1) zu bestimmen. Meine Ideen: ich komme mit der aufgabe gar nicht klar könntet ihr mir helfen ?
25.01.2021, 08:37	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsuntersuchungen Das einzige, was ich verstanden habe, ist, daß es um die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^x \end{eqnarray}$ geht. Bitte mal den Text lesbar machen. --> verschoben in den Hochschulbereich
25.01.2021, 09:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
(Wenn es einem im Homeoffice langweilig wird, kann man ja zwischendurch Usertexte lesbar machen.) Gegeben sei die Funktion $\begin{align} f: \ I \to \mathbb{R} \ \ \text{mit} \ \ f(x) = x^x \, , \ \ \text{wobei} \ \ I = \left( \operatorname{e}^{-1} , \infty \right) \ \ \text{ist} \end{align}$ a) Zeigen Sie, dass $\begin{align} f \end{align}$ injektiv ist. Sie dürfen wie in der Vorlesung verwenden, dass aus $\begin{align} f'(x)>0 \end{align}$ (beziehungsweise $\begin{align} f'(x)<0) \end{align}$ folgt, dass $\begin{align} f \end{align}$ streng monoton steigend (fallend) ist. b) Bestimmen Sie die Bildmenge $\begin{align} f(I) \end{align}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{align} f \end{align}$ eine Umkehrfunktion $\begin{align} g: \ f(I) \to I \end{align}$ besitzt. Sie brauchen keine Funktionsvorschrift für $\begin{align} g \end{align}$ an(zu)geben. c) Bestimmen Sie $\begin{align} g'(1) \end{align}$ mit Hilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen. d) Leiten Sie die Gleichung $\begin{align} g(x)^{g(x)} = x \end{align}$ zweimal ab und benutzen Sie Ihr Ergebnis, um $\begin{align} g''(1) \end{align}$ zu bestimmen. [attach]52524[/attach]
26.01.2021, 08:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Leopold! @memo5792: da wäre doch jetzt ein erster Schritt, von f(x) die Ableitung f'(x) zu bestimmen.

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