Ungleichung beweisen

24.01.2021, 20:29	Bvb70	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen Meine Frage: Man beweise, dass für natürliche Zahlen m und n mit $\begin{eqnarray} m \geq 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \geq m^{2} \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} 2^{n}\geq n^{m} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Irgendwie finde ich zu der Aufgabe kein n Zugang
24.01.2021, 21:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten die Hilfsfunktion $\begin{eqnarray} f(x)= x\ln(2)-2\ln(x) \end{eqnarray}$ : Für die gilt wegen $\begin{eqnarray} f(4) = 4\ln(2)-2\ln(4) = 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f'(x) = \ln(2)-\frac{2}{x} \geq \ln(2)-\frac{1}{2} > 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\geq 4 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} f(x)\geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\geq 4 \end{eqnarray}$ . Speziell für $\begin{eqnarray} x=\sqrt{n} \end{eqnarray}$ folgt daraus $\begin{eqnarray} \sqrt{n}\ln(2) \geq 2\ln(\sqrt{n}) = \ln(n)\qquad \bigm\|\; \cdot\sqrt{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\ln(2) \geq \sqrt{n}\ln(n)\geq m\ln(n)\qquad \bigm\|\; e^{(\ldots)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^n \geq n^m \end{eqnarray}$ .

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