Wegintegrale

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Ana25 Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegrale
Meine Frage:
Berechne das Integral für die folgenden Wege :
a) ein Kreis vom Radius 2 um 2i, der einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen
wird.
b) der Einheitskreis um den Ursprung, der einmal gegen den Uhrzeigersinn
durchlaufen wird.



Meine Ideen:
Bei a) ist der Weg . Dann gilt: . Aber wenn ich das dann einsetzte komme ich irgendwie nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen.
Bei b) dachte ich mir,, dass das mit dem Cauchy Integralsatz geht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze nicht, daß du die Integrale mittels einer Parametrisierung lösen sollst. b) geht ganz schnell mit dem Cauchyschen Integralsatz. a) kannst du mit dem Residuensatz oder, falls noch nicht bekannt, mit der Cauchyschen Integralformel lösen.
Ana25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal für deine Rückmeldung. Ich komme gerade ein bisschen durcheinander mit den Begrifflichkeiten Cauchyscher Integralsatz und Cuachysche Integralformel.
Den Residuensatz hatten wir noch nicht. Irgendwie verstehe ich noch nicht so richtig, welches Resultat ich bei a) jetzt anwenden kann.
Also bei b) müsste ja 0 rauskommen, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

b) stimmt

Die Cauchysche Integralformel sagt:



wobei eine geschlossene (vernünftige) Kurve sein soll, in deren Innern liegt. Für setzt man Holomorphie auf einem Gebiet voraus, das mitsamt Innerem enthält. In a) mußt du deinen Integranden so umformen, daß er die obige Gestalt bekommt:



Versuche, entsprechend zu bestimmen, überprüfe, ob alle Voraussetzungen über und so weiter erfüllt sind, und wende die Formel an.
Ana25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube so in der Form hatten wir diesen Satz nicht. Siehst du noch eine andere Möglichkeit?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ana25
Siehst du noch eine andere Möglichkeit?

Aber klar doch: Du könntest den in a) genannten Kreis via mit parametrisieren und das entsprechende Kurvenintegral berechnen:



Ich kann dir aber jetzt schon versprechen, dass das meilenweit umständlicher ist als der von Leopold vorgeschlagene Weg über die Cauchysche Integralformel. Also wenn ihr die schon kennengelernt habt, nimm besser diesen nervenschonenderen Weg. Augenzwinkern
 
 
Ana25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es gestern schon über die Parametrisierung versucht und habe gemerkt, dass es ziemlich aufwendig ist. Aber ich werde dann wohl mal weiterrechnen... Hat vielleicht einer von euch noch ein Kontrollergebnis?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Kontrollergebnis:

Du könntest auch eine Partialbruchzerlegung durchführen. So könnte man beginnen:



Jetzt noch weiter zerlegen.
Ana25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Ansatz. Das ist natürlich auch noch eine Möglichkeit. Da werde ich mich wohl nochmal reinlesen müssen, wie das genau ging mit der Partialbruchzerlegung.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Partialbruchzerlegung



folgt:



Die ersten beiden Integrale verschwinden gemäß dem Cauchyschen Integralsatz.
Ana25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe. Musste mich da erstmal reinlesen, wie das ganze funktioniert. Kannst du mir noch dein Ergebnis für B verraten? Ich komme irgendwie nicht auf das Kontrollergebnis. Ich gehe von einem Vorzeichenfehler aus.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

berechnet man am schnellsten so: Man multipliziert die Gleichung



mit dem Linearfaktor durch, kürzt ihn links aus dem Nenner weg und erhält für eine lineare Gleichung für :

Ana25 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Da werde ich in den nächsten Tagen mal noch ein paar weitere Aufgaben diesbezüglich üben müssen.
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