A diagonalisierbar

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Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »
A diagonalisierbar
Meine Frage:
Hallo miteinander,

ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe die ich beweisen sollte:
Sei Körper mit , und .
zz: A diagonalisierbar

Meine Ideen:
1. habe ich mir überlegt welche EW A haben könnte:
Die Antwort lautet 1 und -1, da aus der VL bekannt ist, dass gilt:
EW von A => EW von , also EW von , also EW von , also
, da nur EW 1 hat, also


2. Nun wollte ich zeigen, dass .
Dafür muss gelten, dass .
Sei => => v = 0. Da aber per Def. muss v der Nullvektor vom Nullraum sein => .
=>
Ist der Beweis so schlüssig?
MFG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt noch eine Kleinigkeit. Du hast bewiesen, dass die Summe der Eigenräume direkt ist. Du musst noch beweisen, dass die Summe der Eigenräume gleich dem ist. Das wird dir nicht gelingen, aber du könntest versuchen zu beweisen, dass die Summe der Eigenräume gleich ist.
Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zeige ich, dass für Eigenvektoren von und von ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber wie ?
Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß, dass folgendes gilt:
Eigenvektoren mit paarweise verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
Logischerweise sind die Eigenräume ja auch erzeugend. Da nun also meine Eigenvektoren lin. unab. sind und erzeugend sind, bilden sie eine Basis des IK^n und daher gilt die Summe.
So in etwa?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist noch nicht ganz beim Problem angekommen. Die Einheitsmatrix ist eine Matrix, für die gilt . Ihr einziger Eigenwert ist +1. Sie ist diagonalisierbar. Auch , der einzige Eigenwert ist -1. ist diagonalisierbar. Du sollst zeigen dass jede Matrix , für die gilt, diagonalisierbar ist. Das hast du noch nicht gezeigt.
 
 
Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, vielen Dank für die Antwort, allerdings verstehe ich diese nicht genau.
Die Diagonalisierbarkeit zeige ich doch in dem ich folgendes zeige:

=> IK^n hat eine Basis aus Eigenvektoren von A
=> A diagonalisierbar
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber du hast nicht gezeigt, dass das gilt. Du hast nur gezeigt, dass . Das ist sowieso klar, denn Eigenräume zu verschiedenen Eigenräumen haben immer nur den Nullvektor gemeinsam. Trivial ist auch , aber warum gilt die umgekehrte Inklusion ?
Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt lange rumgerätselt, aber komme nicht entscheidend weiter:
Ich muss natürlich zeigen, dass folgendes gilt:

Ich will irgendwie darauf kommen, dass ich v "aufsplitten" kann und dann die Summe gilt, sowas wie:
, befinde mich aber auf dem Holzweg.
Habe die Vermutung, dass ich natürlich irgendwie benutzen muss.
Komm aber auf nichts Halbes und nichts Ganzes.
Können Sie mir eventuell einen Tipp/schubs in die richtige Richtung geben?
MFG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte 2v=(v+Av)+(v-Av), wende A auf die beiden Summanden an. Nun weißt du auch, warum die Charakteristik des Körpers nicht 2 sein soll.
Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bekomm ich:




Charakteristik ungleich 2 bedeutet nun, dass x = -x => x = 0
Nur was nützt mir die Gleichung nun?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, also
, also




das gilt nicht für Charakteristik 2, denn für 2=0 kann man nicht durch 2 dividieren


(Du solltest A nicht auf die beiden Seiten der Gleichung sondern auf die beiden Summanden der Summe anwenden)
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Neben dieser eleganten Lösung kann man auch das Minimalpolynom betrachten, das wegen ein Teiler des Polynoms ist
Edit: Für einen Körper der Charakteristik ist ein Beispiel für eine nicht diagonalisierbare Matrix mit
Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis Vielen Dank, das mit dem anwenden habe ich falsch verstanden, entschuldigung.
Gibt es eine Möglichkeit wie man diese Beweisart "sehen" kann? Weil ich habe kein Problem Definitionen anzuwenden, jedoch tue ich mir manchmal schwer diese Beweisidee zu sehen. Trotzdem vielen Dank!

@URL Das Minimalpolynom hatten wir leider noch nicht, dennoch werde ich mir diesen Beweis merken, ist für die Zukunft bestimmt hilfreich.

Danke an beide!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keine Möglichkeit, Beweise zu "sehen". Übung, Erfahrung, Ausdauer und Frustrationstoleranz sind empfehlenswerte Eigenschaften für Mathematiker. Die Idee, v irgendwie in eine Summe von Eigenvektoren zu den Eigenwerten 1 und -1 aufzuteilen, stammt von Dir ! Ich habe nur Deine Idee benutzt, habe sie ausprobiert und es hat geklappt. Du warst ganz nah dran, hast nur zu schnell aufgegeben. Du hattest sogar schon einen der beiden Summanden gefunden, deshalb war es ganz leicht für mich.
Labollo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank, dann werde ich in Zukunft noch länger rätseln! smile
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Ein bisschen entzaubern kann man das schon: Du willst einen Vektor als Summe eines Eigenvektors zum Eigenwert 1 und eines EV zum EW schreiben. Also mach den Ansatz
mit
Hier bleibt einem nichts anderes übrig, als auf die erste Gleichung anzuwenden (was soll man denn sonst tun?)

Jetzt hat man zwei Gleichungen mt den zwei Unbekannten ., Das löst man wie gewohnt, beide Gleichungen addieren und subtrahieren

Wenn man jetzt durch 2 dividieren kann, hat man Kandidaten für die gesuchten Eigenvektoren gefunden und muss nur noch nachrechnen, dass es wirklich EV zu den gewünshten EW sind.
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