Gleichungssystem

25.01.2021, 11:37

Bienchen271

Gleichungssystem

Meine Frage:
Für folgendes Gleichungssystem sind alle reellen Lösungen gesucht:
$\begin{eqnarray*} 1. y^{3}-6x^{2}+12x = 8 \\<br /> 2. z^{3}-6y^{2}+12y = 8 \\<br /> 3. x^{3}-6z^{2}+12z = 8 \end{eqnarray*}$
Nach Addition aller Gleichungen habe ich $\begin{eqnarray*} (x-2)^{3}+ (y-2)^{3}+ (z-2)^{3}= 0 \end{eqnarray*}$ erhalten und damit auch die Lösungen $\begin{eqnarray*} x=y=z=2 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Wie ich auf andere Lösungen kommen soll ist mir aber ein Rätsel, da Auflösen nach einzelnen Variablen ein sehr hässliches Spiel wird und da dies eine Wettbewerbsaufgabe ist muss ja eine anschauliche Lösung vorliegen.

25.01.2021, 12:47

mYthos

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Wir geben keine Hilfe für Aufgaben aus laufenden Wettbewerben!
Von wo bzw. von wann stammt der Wettbewerb?

mY+

25.01.2021, 13:08

Bienchen271

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Matheolympiade A571236... liegt schon ein paar Jährchen in der Vergangenheit

25.01.2021, 13:15

HAL 9000

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Halten wir

$\begin{eqnarray*} (x-2)^3+(y-2)^3+(z-2)^3=0\qquad (*) \end{eqnarray*}$

mal fest. Angenommen, es gibt noch ein anderes Lösungstripel als $\begin{eqnarray*} (2,2,2) \end{eqnarray*}$ , dann muss mindestens eine der drei dritten Potenzen in (*) positiv sein, o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} y^3-8 = 6x(x-2)>0 \end{eqnarray*}$ sofort auch $\begin{eqnarray*} y>2 \end{eqnarray*}$ .

Und aus $\begin{eqnarray*} z^3-8 = 6y(y-2) > 0 \end{eqnarray*}$ dann aber auch $\begin{eqnarray*} z>2 \end{eqnarray*}$ .

Das alles führt aber zu $\begin{eqnarray*} (x-2)^3+(y-2)^3+(z-2)^3 > 0 \end{eqnarray*}$ im Widerspruch zu (*).

Ich hab auch irgendwie ein Déjà-vu, d.h., die Aufgabe war wohl schon mal irgendwann hier im Board - aber ich finde es nicht mehr. verwirrt

P.S.: Die Argumentation baut essentiell darauf, dass $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ reell sind. Ich bin überzeugt davon, dass es noch eine ganze Reihe unsymmetrischer komplexe Lösungstripel dieses Systems gibt. Augenzwinkern

25.01.2021, 17:00

Bienchen271

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Sehr elegant. Ich hab mich schon immer gefragt, ob solche Olympiadeaufgaben für den trainierten Mathematiker eine echte Herausforderung darstellen oder sich ohne überhaupt zu überlegen lösen lassen.

25.01.2021, 17:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bienchen271
oder sich ohne überhaupt zu überlegen lösen lassen.

Ohne Überlegung bei Aufgaben auf dem Niveau wie die obige? Das muss dann schon ein sehr guter Instinkt sein. Ein paar Minuten hab ich schon auch gebraucht, und vermutlich (s.o.) hatte ich diese Aufgabe hier auch schon mal gesehen - was vielleicht langsam aus dem Hinterkopf dann nach vorn kam. smile

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