Oberflächenintegral über eine Funktion integrieren

26.01.2021, 11:30

Student1011

Oberflächenintegral über eine Funktion integrieren

Liebes Forum,

es geht im folgenden um diese Aufgabe:

[attach]52528[/attach]

Man soll die eine Funktion welche als Funktion von zwei unabhänigen Variablen deffiniert ist über die Oberfläche eines Kegels integrien welche in der obigen Paramterdarstellung angeben ist.

Und hier für gibt es mehr oder weniger ein standart Herangehensweise.

[attach]52529[/attach]

$\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ Die berrechung meines Vektor N ist kein Problem. Hier muss ich ja den Vektor r in beide richtungen ableiten und daraus letzten Endes das Kreuzprodukt bilden. Soweit so gut.

$\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ Aber wie kann ich das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x^2y^2 \end{eqnarray*}$ als Parameter von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ausdrücken ? Darf ich mein x einfach druch u, und mein y einfach druch v ersetzen ?

$\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ Und wenn ich dann den Vektor $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und den Vektor $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Skalarmultipliziere, bekomm ich ja ein Doppelintegral heraus. Bleiben die Grenzen dabei gleich ?

26.01.2021, 12:01

PWM

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Oberflächenintegral in über eine Funtion integrieren
Hallo,

" Darf ich mein x einfach druch u, und mein y einfach druch v ersetzen ?"

Nein, gemeint ist, dass Du über $\begin{eqnarray*} F(r(u,v)) \cdot N(u,v) \end{eqnarray*}$ integrierst. D.h. die x,y,z werden durch die entsprechenden Komponenten der Pfarametrisierung r ersetzt.

Du hast Dir allerdings ohnehin die falsche Definition herausgesucht. Man unterscheidet (meistens) zwischen Oberflächenintegralen über ein Vektorfeld (das hast Du herausgesucht) und Oberflächenintegralen über ein Skalarfeld, was bei Deiner Aufgabe vorliegt. Dann ist zu integrieren über

$\begin{eqnarray*} f(r(u,v)) \|N(u,v)\| \end{eqnarray*}$

also mit der euklidischen Länge des Normalenvektors. Vielleicht schaust Du nochmal in Deiner Quelle, sollte dort eigentlich auch erwähnt sein.

Gruß pwm

26.01.2021, 12:38

Student1011

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Oberflächenintegral in über eine Funtion integrieren

Zitat:

Original von PWM
Hallo,

" Darf ich mein x einfach druch u, und mein y einfach druch v ersetzen ?"

Nein, gemeint ist, dass Du über $\begin{eqnarray*} F(r(u,v)) \cdot N(u,v) \end{eqnarray*}$ integrierst. D.h. die x,y,z werden durch die entsprechenden Komponenten der Pfarametrisierung r ersetzt.

Du hast Dir allerdings ohnehin die falsche Definition herausgesucht. Man unterscheidet (meistens) zwischen Oberflächenintegralen über ein Vektorfeld (das hast Du herausgesucht) und Oberflächenintegralen über ein Skalarfeld, was bei Deiner Aufgabe vorliegt. Dann ist zu integrieren über

$\begin{eqnarray*} f(r(u,v)) \|N(u,v)\| \end{eqnarray*}$

also mit der euklidischen Länge des Normalenvektors. Vielleicht schaust Du nochmal in Deiner Quelle, sollte dort eigentlich auch erwähnt sein.

Gruß pwm

Ist etwas schwer dich nachzuvollziehen. Aber wenn ich dich richtig verstanden habe, lag mein Fehler dran das ich versucht habe ein Flußintegral zu berechnen, wobei es ein einfaches Oberflächenintegral gewesen wäre.

Laut Def. muss aber dann f =1 sein. Das ist es doch in meinem falle nicht.

Somit ergibt sich die frage:

Woran erkenne ich den jetzt ob ich die Oberfläche über ein Vektorfeld oder Skalarfeld berrechnen muss ? Wo liegen die unterscheide ich erkenne es nicht.

[attach]52530[/attach]

26.01.2021, 14:03

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben ist eine Fläche mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \vec x(u,v) \end{eqnarray*}$ .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bei einem Oberflächenintegral 1.Art sind sowohl der Integrand $\begin{eqnarray*} \rho(\vec x) \end{eqnarray*}$ als auch das differentielle Flächenelement dA ein Skalar, also

$\begin{eqnarray*} \int \int \underbrace{\rho(\vec x)}_{\text{Skalar}} \cdot \underbrace{\left | \tfrac{\partial \vec x}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial v}\right |\, dudv}_{\text{skalares Flächenelement } dA} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
Eine Fläche wird unregelmäßig mit Farbe bestrichen, wobei $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ die lokale (skalare) Flächendichte der Farbschicht ist. In diesem Falle liefert das obige Flächenintegral 1.Art die Masse der Farbschicht insgesamt.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bei einem Oberflächenintegral 2.Art sind sowohl der Integrand $\begin{eqnarray*} \vec j(\vec x) \end{eqnarray*}$ als auch das differentielle Flächenelement $\begin{eqnarray*} d \vec A \end{eqnarray*}$ ein Vektor, also

$\begin{eqnarray*} \int \int \underbrace{\vec j(\vec x)}_{\text{Vektor}} \cdot \underbrace{\left ( \tfrac{\partial \vec x}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial v}\right )\, dudv}_{\text{vektorielles Flächenelement } d \vec A} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
Man betrachte eine Luftströmung mit der ortsabhängigen Stromdichte $\begin{eqnarray*} \vec j \end{eqnarray*}$ durch eine luftdurchlässige Fläche. In diesem Falle liefert das obige Flächenintergral 2.Art die Masse der Luft, die pro Zeit durch die gesamte Fläche strömt.
----------------------------------------------------------------------------------------------------

26.01.2021, 16:24

Student1011

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ehos
Gegeben ist eine Fläche mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \vec x(u,v) \end{eqnarray*}$ .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bei einem Oberflächenintegral 1.Art sind sowohl der Integrand $\begin{eqnarray*} \rho(\vec x) \end{eqnarray*}$ als auch das differentielle Flächenelement dA ein Skalar, also

$\begin{eqnarray*} \int \int \underbrace{\rho(\vec x)}_{\text{Skalar}} \cdot \underbrace{\left | \tfrac{\partial \vec x}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial v}\right |\, dudv}_{\text{skalares Flächenelement } dA} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
Eine Fläche wird unregelmäßig mit Farbe bestrichen, wobei $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ die lokale (skalare) Flächendichte der Farbschicht ist. In diesem Falle liefert das obige Flächenintegral 1.Art die Masse der Farbschicht insgesamt.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bei einem Oberflächenintegral 2.Art sind sowohl der Integrand $\begin{eqnarray*} \vec j(\vec x) \end{eqnarray*}$ als auch das differentielle Flächenelement $\begin{eqnarray*} d \vec A \end{eqnarray*}$ ein Vektor, also

$\begin{eqnarray*} \int \int \underbrace{\vec j(\vec x)}_{\text{Vektor}} \cdot \underbrace{\left ( \tfrac{\partial \vec x}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial v}\right )\, dudv}_{\text{vektorielles Flächenelement } d \vec A} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
Man betrachte eine Luftströmung mit der ortsabhängigen Stromdichte $\begin{eqnarray*} \vec j \end{eqnarray*}$ durch eine luftdurchlässige Fläche. In diesem Falle liefert das obige Flächenintergral 2.Art die Masse der Luft, die pro Zeit durch die gesamte Fläche strömt.
----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ja gut, wie das skalareflächenelement dA bestimme ist ja nicht das Problem. Wie muss ich denn jetzt mein Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^2y^2 \end{eqnarray*}$ um schreiben, dass ich es am Ende mit dem Flächenelement mulitplizieren kann ? Weil in der Funktion ist ja ein x und y vorhanden.

Und PMW hat ja gemeint, ich darf mein x und y nicht einfach durch u und v ersetzen.

Weil am Ende hab ich ja ein Integral dvdu und die Grenzen sind ja auch von u und v abhänig.

26.01.2021, 17:43

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst in meiner Formel für das Oberflächenintegral 1.Art ersetzen

$\begin{eqnarray*} x=u\cdot \sin(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=u\cdot \cos(v) \end{eqnarray*}$

Damit wird der Integrand zu

$\begin{eqnarray*} \rho=x^2y^2=u^4\cdot \underbrace{\sin^2(v)\cos^2(v)}_{\tfrac{1}{4}\sin^2(2v)}=\tfrac{1}{4}u^4\cdot \sin^2(2v) \end{eqnarray*}$

27.01.2021, 05:56

Student1011

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ehos
Du musst in meiner Formel für das Oberflächenintegral 1.Art ersetzen

$\begin{eqnarray*} x=u\cdot \sin(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=u\cdot \cos(v) \end{eqnarray*}$

Damit wird der Integrand zu

$\begin{eqnarray*} \rho=x^2y^2=u^4\cdot \underbrace{\sin^2(v)\cos^2(v)}_{\tfrac{1}{4}\sin^2(2v)}=\tfrac{1}{4}u^4\cdot \sin^2(2v) \end{eqnarray*}$

Erstmal danke für die Antwort ich bin jetzt auf das richtige ergebniss gekommen. Ich ersetze einfach den Radius welcher als $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ deffiniert ist druch u, und den Winkle welcher zunächst als $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ deffiniert ist durch v.

Was ich aber nicht ganz nachvollziehen kann, ich weshalb ich mein x und y in die Polarkoordinaten umschreiben muss.

Fernen, frage ich mich, wie wäre denn die rechung, und dem Aspekt, dass mein $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^2y^2 \end{eqnarray*}$ , kein Skalarfeld sonder ein Vektorfeld ist.

27.01.2021, 13:38

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass anstelle der bekannten Bezeichnungen r=Radius und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ =Winkel die neuen Bezeichnungen u, v einführt, ist reine Verwirrungstaktik des Autors der Aufgabe.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Zu deiner Frage:
Angenommen die Fläche ist in irgendwelcher Parameterdarstellung mit den zwei Parametern u, v gegeben:

$\begin{eqnarray*} \vec x(u, v)=\begin{pmatrix} x(u, v) \\ y(u, v) \\ z(u,v) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann muss man genau diese 3 Komponenten x(u, v), y(u,v) z(u,v) aus der Parameterdarstellung in den skalaren Integranden f(x,y,z) des Oberflächenintegrals 1.Art einsetzen. Der Integrand lautet dann also

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=f[x(u, v),y(u, v),z(u,v)] \end{eqnarray*}$

Damit wird aus dem xyz-abhängigen Integranden f(x,y,z) ein uv-abhängiger Integrand f(u, v), wie es sein muss. In deiner speziellen Aufgabe waren x, y in Polarkoordinaten gegeben gemäß $\begin{eqnarray*} x(u,v)=u\cdot \cos(v) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y(u,v)=u\cdot \sin(v) \end{eqnarray*}$ . Die Variable z kam zufälligerweise im Integranden nicht vor.

Beim Oberflächenintegral 2.Art ist es im Prinzip genauso. Dort setzt man die 3 Komponenten x(u, v), y(u,v) z(u,v) aus der Parameterdarstellung in den vektoriellen Integranden $\begin{eqnarray*} \vec f(x,y,z) \end{eqnarray*}$ ein gemäß

$\begin{eqnarray*} \vec f(x,y,z)=\begin{pmatrix} f_1(x,y,z) \\ f_2(x,y,z) \\ f_3(x,y,z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f_1[x(u, v),y(u,v),z(u,v)] \\ f_2[x(u, v),y(u,v),z(u,v)] \\ f_3[x(u, v),y(u,v),z(u,v) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Oberflächenintegral über eine Funktion integrieren

Verwandte Themen