Konvergenz in Verteilung/Schwache Konvergenz

26.01.2021, 11:54	EulerscheKonstante	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Verteilung/Schwache Konvergenz Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin gerade bei der Suche nach einer Antwort auf eine Frage auf dieses Forum hier gestoßen und somit suche ich hier mal etwas Hilfe. Ich bereite mich aktuell auf die EWS Vorlesung nebenbei etwas vor und ich bin in einem Skipt (W. König, Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik) auf folgenden Definition + Folgerung gestoßen (Seite 67) Seien $\begin{eqnarray} X, X_n, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray} F, F_n, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} X_n \overset{w}{\rightarrow} X \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}\left ( X_n \in \left [ a,b \right ] \right ) = \mathbb{P}\left ( X \in \left [ a,b \right ] \right ) \forall a,b \in \mathbb{R}, a < b \end{eqnarray}$ in denen F stetig ist. Meine Frage nun, warum gilt diese Folgerung auch über dem kompakten Intervall [a,b], denn die Verteilungsfunktion ist ja definiert über dem halboffenen Intervall $\begin{eqnarray} \left ( -\infty ,t \right ], t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert. Kann mir da jemand einen kleinen Ansatz/Beweis/Beweisskizze geben, der Autor verweist darauf, dass es "sehr leicht zu zeigen ist". Wäre sehr dankbar darüber! MFG Meine Ideen: Keine Ansätze, aber Vorwissen: Die einzelnen Definitionen von Verteilungsfunktion, Konvergenz in Verteilung, etc. sind mir natürlich geläufig.

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