Beweis für lokale Extrema

26.01.2021, 17:24

Maxibabo

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Beweis für lokale Extrema

Meine Frage:
Gegeben sind die Funktion f und die Funktionenschar ga durch.

f: f(x) = sin(x)/2+cos(x) - 1/wurzel 3 ; xER;

ga: ga(x) = a*x ; xER, a>0

Zeigen Sie, dass für a >1/3 die Differenz der Funktionswerte da(x) = ga(x) ? f(x) keine lokalen Extrema besitzt.

Ich habe keine Ahnung wie ich da vorgehen soll und muss das 18:00 abgeben. :/

Meine Ideen:
hab keine traurig

traurig

26.01.2021, 17:58

mYthos

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Bilde zunächst die Ableitungsfunktion von a*x - sin(x)/2 - cos(x) + ... und davon die Nulstelle(n).
Untersuche deren Existenz in Abhängigkeit von a.

Es sieht allerdings so aus, als ob die Angabe nicht stimmt.

mY+

26.01.2021, 20:58

Leopold

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Hier die Aufgabe aus dem geschlossenen Parallel-Thread:

[attach]52532[/attach]

Meine Antwort bezieht sich auf die dortige Frage.

Die Idee stimmt, es mag an Rechenschwierigkeiten scheitern. Die Ableitung der Funktion $\begin{align*} d_a \end{align*}$ ist

$\begin{align*} d_a'(x) = a - \frac{1 + 2 \cos(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^2} \end{align*}$

Rechne nach, ob du auf diese Ableitung kommst.

Für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ und die sonstigen Vielfachen von $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ hat der Bruch den Wert $\begin{align*} \frac{1}{3} \end{align*}$ . Vielleicht liegt er ja für andere $\begin{align*} x \end{align*}$ unterhalb von $\begin{align*} \frac{1}{3} \end{align*}$ . Wenn dann $\begin{align*} a > \frac{1}{3} \end{align*}$ wäre, könnte $\begin{align*} d_a'(x) \end{align*}$ folglich nicht mehr 0 werden.

Ich stelle daher die Hypothese auf:

$\begin{align*} \frac{1 + 2 \cos(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^2} \leq \frac{1}{3} \end{align*}$

Ich konnte sie mittels Äquivalenzumformungen bestätigen. Versuch das auch mal. Beachte alle Vorsichtsmaßnahmen, die man bei Ungleichungen walten lassen muß.

26.01.2021, 21:07

URL

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Eher ein Fall von Klammerverweigerer: $\begin{eqnarray*} sin(x)/2+cos(x) - 1/\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ statt des eigentlich gemeinten $\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{2+cos(x)} - 1/\sqrt 3 \end{eqnarray*}$

26.01.2021, 23:24

Stierbier

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Edit (mY+): Vollquote entfernt! Zur Antwort NICHT auf den Zitat-Butten klicken!! Oder das Zitat entsprechend kürzen!

Ja genau bis zu der Ableitung bin ich auch gekommen, bloß weiß ich danach nicht mehr weiter. Ich versuche gerade echt das Geschriebene zu verstehen, aber irgendwie geht es nicht ganz in meinen Kopf rein.

27.01.2021, 00:04

Leopold

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Zieht man von einer Zahl, die größer als 1/3 ist (a), eine Zahl ab, die kleiner oder gleich 1/3 ist (der cos-Bruch), dann ist die Differenz größer als 0.

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27.01.2021, 10:00

Stierbier

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Oke danke schön den Part habe ich verstanden. Aber wie funktioniert das mit der Äuqivalenzumformung?
Könnte man die Hypothese auch beweisen indem man die Hochpunkte der Funktion (der cos-Bruch) herausfindet, weil das zeigt ja dann auch den maximal Wert der Funktion und daraus folgend müssen ja alle anderen Werte kleiner sein.

27.01.2021, 14:46

mYthos

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So soll es auch gemacht werden! smile

smile

[attach]52543[/attach]

Nun, an welcher Stelle befindet sich H?

mY+

27.01.2021, 15:15

Stierbier

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H liegt an der Stelle $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2} \pi / 2,255) \end{eqnarray*}$ , aber das hat ja nichts mit der Aufgabe c) zu tun. Ich hab jetzt die Extrempunkte(vom cos-Bruch) ausgerechnet, aber mir fehlt jetzt die 2. Ableitung um beweisen zu können, dass es ein Hochpunkt ist.

Meine Ansätze zur 2.Ableitung sehen wie folgt aus:

Ausgangsfunktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{1 + 2 \cos(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^2} \end{eqnarray*}$

Das ist die erste Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x) }{(2+ \cos(x))^{2} } \end{eqnarray*}$

Ansätze zur zweiten Ableitung:
$\begin{eqnarray*} u =2\sin(x)-2\cos(x)\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=2\sin^{2}(x) +2\cos(x) - 2\cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = (2+\cos(x))^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = -4\sin(x) -2\cos(x)\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2\cos(x)+2\sin(x) -2\cos^{2}(x))*(2+\cos(x))^{2} - (-4\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x))*(2\sin(x) - \cos(x)\sin(x))}{(2+ \cos(x))^{4}} \end{eqnarray*}$

Als nächste wollte ich die hoch 2 mit der hoch 4 kürzen, damit im Nenner nur noch hoch 2 steht und die Binomische Formel im Zähler weg fällt. Aber wenn ich das mache wird irgendwie alles falsch...

27.01.2021, 15:48

mYthos

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Zitat:

Original von Stierbier...
Ausgangsfunktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{1 + 2 \cos(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^2} \end{eqnarray*}$

Das ist die erste Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x) }{(2+ \cos(x))^{2} } \end{eqnarray*}$
...

Diese stimmt nicht! Erstens hinsichtlich des Vorzeichens und zweitens hinsichtlich des Nenners (3. Potenz wäre richtig)

mY+

27.01.2021, 16:03

Leopold

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Schon die erste Ableitung stimmt nicht. Wollen wir doch erst, wie sich das für wohlerzogene Mathematiker gehört, der Funktion einen Namen geben, damit wir sie auch ansprechen können.

$\begin{align*} g(x) = \frac{1 + 2 \cos(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^2} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{align*}$

Hiervon jetzt die erste Ableitung:

$\begin{align*} g'(x) = \frac{2 \left( \cos(x) - 1 \right) \sin(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^3} \end{align*}$

Bitte Fehler suchen und nachrechnen.

Für Nullstellen und Vorzeichenuntersuchungen sind Produkte vorteilhaft. Die Produktdarstellung im Zähler ist einer Summendarstellung vorzuziehen.

Schauen wir uns erst einmal den Nenner an. Er ist offenbar immer positiv. Allein der Zähler entscheidet daher über Nullstellen und Vorzeichen der Funktion. Der Klammerfaktor im Zähler wird 0 bei den ganzzahligen Vielfachen von $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ , der andere Faktor bei den ganzzahligen Vielfachen von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Wegen der Periodizität genügt es daher, die Nullstellen $\begin{align*} 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \pi \end{align*}$ zu untersuchen. Du willst dafür die zweite Ableitung nehmen. Wenn Schüler das Ableiten lernen, haben sie es zumeist mit ganzrationalen Funktionen in Polynomform zu tun. Ein solches Polynom abzuleiten ist aber ein Kinderspiel, wenn es sein muß, bis zur hundertneunundfünfzigsten Ableitung. Im allgemeinen ist das aber nicht so. Wie du selbst bemerkst, ist die Berechnung von $\begin{align*} g'' \end{align*}$ aufwendig und fehleranfällig. Grundsätzlich gilt daher: Zweite Ableitung nur berechnen, falls unbedingt nötig. Es geht ja auch gänzlich ohne. Im Intervall $\begin{align*} \left( -\pi , 0 \right) \end{align*}$ besitzt $\begin{align*} g' \end{align*}$ keine Nullstelle. Um das Vorzeichen in diesem Intervall zu bestimmen, reicht es daher, einen einzigen (bequemen) Wert einzusetzen. Dessen Vorzeichen gilt im gesamten Intervall (Kontraposition des Zwischenwertsatzes). Ich nehme $\begin{align*} - \frac{\pi}{2} \end{align*}$ , und weil es nur auf den Zähler ankommt, berechne ich

$\begin{align*} 2 \left( \cos \left( - \frac{\pi}{2} \right) - 1 \right) \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot (-1) \cdot (-1) = 2 \end{align*}$

Analog berechnen wir das Vorzeichen im Intervall $\begin{align*} \left( 0 , \pi \right) \end{align*}$ :

$\begin{align*} 2 \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - 1 \right) \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot (-1) \cdot 1 = -2 \end{align*}$

Im Intervall $\begin{align*} \left( \pi , 2 \pi \right) \end{align*}$ haben wir wegen der Periodizität wieder dasselbe Vorzeichen wie im Intervall $\begin{align*} \left( - \pi , 0 \right) \end{align*}$ . Deswegen haben wir in den Intervallen

$\begin{align*} \left( - \pi , 0 \right) \, , \ \ \left( 0 , \pi \right) \, , \ \ \left( \pi , 2\pi \right) \end{align*}$

die Vorzeichenfolge $\begin{align*} + \ | \ - \ | \ + \end{align*}$ , also bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ einen Vorzeichenwechsel von + nach -, was für den Graphen von $\begin{align*} g \end{align*}$ einen Hochpunkt bedeutet, und bei $\begin{align*} x = \pi \end{align*}$ einen Vorzeichenwechsel von - nach +, was für den Graphen einen Tiefpunkt bedeutet.

$\begin{align*} g(0) = \frac{1}{3} \, , \ \ g(\pi) = -1 \end{align*}$

Folge:

$\begin{align*} -1 \leq \frac{1 + 2 \cos(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^2} \leq \frac{1}{3} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$

Mein ursprünglicher Vorschlag zielte auf etwas anderes, nämlich die vermutete Ungleichung

$\begin{align*} \frac{1 + 2 \cos(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^2} \leq \frac{1}{3} \end{align*}$

äquivalent umzuformen, bis man auf eine wahre Aussage stößt. Wenn man sich versichert hat, daß alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren (ganz wichtig!), darf dann auf die Gültigkeit der vermuteten Ungleichung geschlossen werden.

Versuch das einmal. Den ersten Schritt gebe ich vor: Multipliziere die Ungleichung auf beiden Seiten mit dem Nenner $\begin{align*} \left( 2 + \cos(x) \right)^2 \end{align*}$ . Da dieser Nenner positiv ist, bleiben die Ungleichheitszeichen erhalten. Jetzt versuche, weiter umzuformen, bis du auf eine binomische Formel stößt.

27.01.2021, 16:07

mYthos

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Um nochmals Ordnung in das Gewirr zu bringen:

Die Ausgangsfunktion in der Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{\sin x}{\cos x + 2} \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung: $\begin{eqnarray*} h'(x) = \frac{1 + 2 \cos x}{(\cos x + 2)^2} \end{eqnarray*}$

Die zweite Ableitung: $\begin{eqnarray*} h''(x) = - \frac{2 \sin x(1 - \cos x)}{(\cos x + 2)^3} \end{eqnarray*}$

Weshalb willst du eigentlich nochmals ableiten?

mY+

27.01.2021, 16:11

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Weshalb willst du eigentlich nochmals ableiten?

Du mußt den Thread in Gänze verfolgen. Dann siehst du den Zweck der Übung.

27.01.2021, 16:15

mYthos

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Ihr seid doch einfach eine Ableitung zu weit gegangen.
Die Ausgangsfunktion ist jene in der Angabe, und von dieser wollte Stierbier das Maximum bestimmen.

Zitat:

Original von Stierbier
... Könnte man die Hypothese auch beweisen indem man die Hochpunkte der Funktion (der cos-Bruch) herausfindet, weil das zeigt ja dann auch den maximal Wert der Funktion und daraus folgend müssen ja alle anderen Werte kleiner sein.

Die 2. Ableitung wollte er für den Beweis des Maximums.

Oder? verwirrt

verwirrt

mY+

27.01.2021, 16:37

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Ihr seid doch einfach eine Ableitung zu weit gegangen.
Die Ausgangsfunktion ist jene in der Angabe, und von dieser wollte Stierbier das Maximum bestimmen.

Nein. Er will zeigen, daß die Differenzfunktion von Aufgabenteil c) keine Extremwerte besitzt, wenn $\begin{align*} a > \frac{1}{3} \end{align*}$ ist. Das ist der Fall, wenn mein $\begin{align*} g(x) \leq \frac{1}{3} \end{align*}$ ist. Und um von diesem $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ die Schranken zu finden, wird abgeleitet.

Das ist die Idee von Stierbier. Meine Idee war, die obere Schranke für $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ direkt nachzuweisen (siehe Ende meines vorigen Beitrag).

27.01.2021, 17:57

Stierbier

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Vielen, vielen Dank für die ganze Mühe bei der Beantwortung meiner Frage. Es ist wirklich sehr nett! Ich setze mich nachher nochmal dran und gebe dann eine Rückmeldung.

28.01.2021, 11:19

Stierbier

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Zitat:

Original von Leopold

Hiervon jetzt die erste Ableitung:

$\begin{align*} g'(x) = \frac{2 \left( \cos(x) - 1 \right) \sin(x)}{\left( 2 + \cos(x) \right)^3} \end{align*}$

Bitte Fehler suchen und nachrechnen.

Irgendwie krieg ich die Ableitung in dieser schönen Form nicht hin... bei mir sieht die nur so aus:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{-2\sin(x)}{(2+\cos(x))^{2}} + \frac{2(2\cos(x)+1)\sin(x)}{(2+\cos(x))^{3}} \end{eqnarray*}$

28.01.2021, 13:08

Leopold

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Den ersten Bruch mit $\begin{align*} 2 + \cos(x) \end{align*}$ erweitern (im Zähler dann nicht wieder gleich ausmultiplizieren), dann hat er denselben Nenner wie der zweite. Dann können einfach die Zähler addiert werden. Auch hier wieder nicht ausmultiplizieren, sondern im Gegenteil $\begin{align*} 2 \sin(x) \end{align*}$ ausklammern.

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