Gleichung mit 3 Unbekannten

27.01.2021, 08:00

timmy4

Gleichung mit 3 Unbekannten

Meine Frage:
Zur Gleichung:

(13/â^2) + (1996/b^2) = (c/1997)

sollen alle ganzzahligen Lösungen gefunden werden.

Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich nur den Ansatz, dass 2 Primzahlen (13 und 1997) gegeben sind. Bitte um Hilfe.

27.01.2021, 08:04

HAL 9000

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Das mit dem â kommt mir seltsam vor, daher frage ich sicherheitshalber nach: Du meinst wirklich die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{13}{a^2} + \frac{1996}{b^2} = \frac{c}{1997} \end{eqnarray*}$ ?

27.01.2021, 09:19

timmy4

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Ja das war nur ein Tippfehler. Richtige Gleichung:

(13/a^2) + (1996/b^2) = (c/1997)

27.01.2021, 09:44

HAL 9000

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Klar ist, dass man sich zunächst auf positive $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ konzentrieren kann:

Mit $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ sind dann auch $\begin{eqnarray*} (-a,b) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a,-b) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (-a,-b) \end{eqnarray*}$ Lösungen (das zugehörige jeweils EINE $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt mal weggelassen).

Man findet genau 7 solche positiven $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ -Lösungspaare:

i) Zwei mit $\begin{eqnarray*} b=a \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (7,7) \end{eqnarray*}$ und zugehörig $\begin{eqnarray*} c=\frac{7^2}{a^2}\cdot 41\cdot 1997 \end{eqnarray*}$

ii) Fünf mit $\begin{eqnarray*} b=2a \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \left(2^k,2^{k+1}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ und zugehörig $\begin{eqnarray*} c=\frac{512}{a^2}\cdot 1997 = 2^{9-2k}\cdot 1997 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet somit insgesamt 28 ganzzahlige Lösungstripel $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ .

Die eigentliche Kunst ist es nun nachzuweisen, dass es keine weiteren gibt. Dabei kann die per Gleichungsumstellung erhaltene Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} \left(b^2c - 1997\cdot 1996\right)\left(a^2c - 1997\cdot 13\right) = 1997^2\cdot 1996\cdot 13 = 2^2\cdot 13\cdot 499\cdot 1997^2 \end{eqnarray*}$

helfen.

P.S.: Die 1997 ist eine kleine Zusatzgemeinheit, die die Situation nicht wesentlich ändert, aber die Gleichungslösung etwas verlängert - vermutlich eine Olympiadeaufgabe aus dem Jahr 1997, wenn ich mal raten müsste. Insgesamt hätte es also auch das geringfügig einfachere

$\begin{eqnarray*} \frac{13}{a^2} + \frac{1996}{b^2} = d \end{eqnarray*}$

mit ganzzahligem $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ getan. Augenzwinkern

28.01.2021, 14:41

timmy4

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Danke für deine Hilfe. Leider kann ich den Lösungsvorschlag noch nicht ganz nachvollziehen. Hast du vielleicht einen Hinweis auf den theoretischen Hintegrund, der beim Verstehen vom Lösungsweg hilft?.?

28.01.2021, 14:53

HAL 9000

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Oben aufgelistet habe ich nur 7 (bzw. insgesamt 28) Lösungen ohne Beweis, dass das wirklich alle sind. Der letztgenannte Tipp

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \left(b^2c - 1997\cdot 1996\right)\left(a^2c - 1997\cdot 13\right) = 2^2\cdot 13\cdot 499\cdot 1997^2 \end{eqnarray*}$

hat den Hintergrund, dass links ja in den beiden Klammern jeweils ganze Zahlen stehen, deren Produkt wir kennen (das steht ja rechts des Gleichheitszeichens).

Von der Primfaktorzerlegung dieser Zahl rechts her ist nun klar, dass es nur eine begrenzte Anzahl Möglichkeiten einer solchen Produktzerlegung in zwei Faktoren wie die links gibt. Die klappert man alle durch, und dann ist man fertig - das ist grob gesagt die Beweisidee. D.h., keine große Theorie, die über das Schulwissen zu ganzen Zahlen und deren Primfaktorzerlegung hinausgeht.

=============================================

Ok, zum Beweis selbst:

Wie die anderen Primfaktoren auch, muss 1997 ein Teiler mindestens einer der beiden Klammerausdrücke links sein. Das bedeutet aber $\begin{eqnarray*} 1997\mid (b^2c) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1997\mid (a^2c) \end{eqnarray*}$ .

1.Fall: $\begin{eqnarray*} 1997\mid c \end{eqnarray*}$

Wir setzen $\begin{eqnarray*} c=1997d \end{eqnarray*}$ mit dann ganzzahligem $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und die obige Gleichung vereinfacht sich zu

$\begin{eqnarray*} \left(b^2d - 1996\right)\left(a^2d - 13\right) = 2^2\cdot 13\cdot 499 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r\cdot s = 2^2\cdot 13\cdot 499 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r=b^2d - 1996 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=a^2d - 13 \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir alle derart möglichen Zerlegungen in Faktoren $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ gemäß Primfaktorzerlegung:

$\begin{eqnarray*} r=1, s=2^2\cdot 13\cdot 499=25948 \end{eqnarray*}$ , bedeutet $\begin{eqnarray*} b^2d=1997,a^2d=25961 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=2, s=2\cdot 13\cdot 499=12974 \end{eqnarray*}$ , bedeutet $\begin{eqnarray*} b^2d=1998,a^2d=12987 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} r=25948, s=1 \end{eqnarray*}$ , bedeutet $\begin{eqnarray*} b^2d=27944,a^2d=14 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} (b^2d)\cdot (a^2d) = a^2b^2d^2 = (abd)^2 \end{eqnarray*}$ muss das Produkt der beiden Kandidaten für $\begin{eqnarray*} b^2d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^2d \end{eqnarray*}$ ja eine Quadratzahl sein. Wenn das keine Quadratzahl ist (was in den meisten der obigen Fälle zutrifft), dann können wir diese Option sofort verwerfen.

Tatsächlich bleiben nach dieser Vorkontrolle lediglich noch zwei Unterfälle übrig:

1.1.Fall: $\begin{eqnarray*} r=13,s=1996 \end{eqnarray*}$ , bedeutet $\begin{eqnarray*} b^2d=2009,a^2d=2009 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ .

Die Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} 2009=7^2\cdot 41 \end{eqnarray*}$ sagt, dass nur die beiden Varianten $\begin{eqnarray*} a=b=1,d=2009 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=b=7,d=41 \end{eqnarray*}$ möglich sind.

1.2.Fall: $\begin{eqnarray*} r=52,s=499 \end{eqnarray*}$ , bedeutet $\begin{eqnarray*} b^2d=2048,a^2d=512 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} b=2a \end{eqnarray*}$ .

Die Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} 512=2^9 \end{eqnarray*}$ sagt, dass nur die Varianten $\begin{eqnarray*} a=2^k,b=2^{k+1},d=2^{9-2k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ möglich sind.

2.Fall: $\begin{eqnarray*} 1997\not\mid c \end{eqnarray*}$

Hier folgt rasch, dass sowohl $\begin{eqnarray*} 1997\mid a \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 1997\mid b \end{eqnarray*}$ gelten muss. Daher haben wir $\begin{eqnarray*} a=1997u,b=1997v \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ sowie die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left(1997v^2c - 1996\right)\left(1997u^2c - 13\right) = 2^2\cdot 13\cdot 499 \end{eqnarray*}$

Mit den Erkenntnissen des 1.Falls oben können wir die aber ganz schnell abhandeln, ohne weitere Gleichungslösungen (warum?)

29.01.2021, 15:54

timmy4

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Danke für deine Hilfe!

29.01.2021, 16:11

HAL 9000

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Hinsichtlich der Betrachtung des 2.Falls würde ich die Argumentation noch ein wenig umstricken:

Der 1.Fall $\begin{eqnarray*} 1997\mid c \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} c=1997d \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, dass es um die Diophantische Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{13}{a^2}+\frac{1996}{b^2} = d\qquad (*) \end{eqnarray*}$

geht. Wie das gelöst werden kann, hatte ich oben ja beschrieben.

2.Fall: $\begin{eqnarray*} 1997\not\mid c \end{eqnarray*}$

Wie oben schon erwähnt folgt dann $\begin{eqnarray*} a=1997u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1997v \end{eqnarray*}$ . In die Originalgleichung eingesetzt bedeutet das

$\begin{eqnarray*} \frac{13}{u^2}+\frac{1996}{v^2} = 1997c \end{eqnarray*}$

Wenn diese Gleichung eine Lösung $\begin{eqnarray*} (u,v,c) \end{eqnarray*}$ haben soll, dann muss $\begin{eqnarray*} a=u,b=v,d=1997c \end{eqnarray*}$ auch eine Lösung von (*) sein. Wie oben festgestellt, besitzt (*) aber keine Lösung mit $\begin{eqnarray*} 1997\mid d \end{eqnarray*}$ . Damit gibt es in diesem 2.Fall keine Lösung.

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