Normalverteilung - Wahrscheinlichkeit von Gewichten berechnen

27.01.2021, 11:09

3rdtimesacharm

Normalverteilung - Wahrscheinlichkeit von Gewichten berechnen

Hallo,

in meiner Statistik-Vorlesung sollen wir eine Aufgabe behandeln:

Zitat:

Das Gewicht von Eiern streue normalverteilt mit Erwartungswert 65gr und einer Standardabweichung von 8gr.

Jeweils ohne besondere Auswahl werden jeweils immer 6 Eier zusammen verpackt.
1.) Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer solchen Packung jedes Ei unter 60gr wiegt?
2.) Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer solchen Packung mehr als ein Ei unter 60gr wiegt?
3.) Wie wahrscheinlich ist es, dass das Gesamtgewicht der eier in einer Packung unter 360gr beträgt?
4.) Wie lauten Erwartungswert und Standardabweichung des Durchschnittsgewichts?
5.) Wie wahrscheinlich ist es, dass das Durchschnittsgewicht unter 60gr liegt?

Leider verstehe ich keine einzige Aufgabe davon. Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank

27.01.2021, 11:54

Steffen Bühler

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RE: Normalverteilung - Wahrscheinlichkeit von Gewichten berechnen
Du brauchst dafür diese Tabelle. Falls noch was unklar ist, melde Dich.

Viele Grüße
Steffen

27.01.2021, 15:30

3rdtimesacharm

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Hallo,

ich bin mir nicht sicher, wie mir das hier hilft.

Ich stolpere darüber, dass es plötzlich um 6, mindestens 1, usw. geht.

Die Aufgabe hatte einen ersten Teil, da ging es darum:

Zitat:

1) Welcher Anteil der Eier wiegt unter 60gr
2) Welcher Anteil wiegt zwsichen 60 und 70gr
3) In welchem Intervall liegen 99% des Gewichts der Eier?
4) welcher Anteil unterdurchschnittlich schwerer Eier wiegt 60gr?

Die habe ich alle lösen können. Beim zweiten Teil hängt es jetzt total.

27.01.2021, 15:37

Steffen Bühler

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Ups, sorry. Hier geht es natürlich um die Anwendung der Student-Verteilung.

27.01.2021, 17:48

HAL 9000

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@Steffen

Wieso? Hier geht es durch und durch um Normalverteilung.

Die Studentsche t-Verteilung kommt allenfalls zum Tragen, wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{\bar{X}-\mu}{S} \end{eqnarray*}$ mit der aus der Stichprobe selbst heraus geschätzten Standardabweichung $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ betrachten will.

Im vorliegenden Fall würde ich die Angaben klar so lesen, dass die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma=8 \end{eqnarray*}$ der Normalverteilung als vorab bekannt betrachtet wird.

27.01.2021, 17:49

3rdtimesacharm

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Hallo,

also ich habe Lösungen zu Teil 1 und 2 (alle Eier wiegen weniger als 60gr und mehr als ein Ei wiegt weniger als 60gr),

Dann hört es aber leider auch schon wieder auf.

Wir haben noch den Tipp bekommen, den Erwartungswert und die Standardabweichung des Gesamtgewichts zu beachten.
Ein Ei hat den Erwartungswert 65 gr und die Standardabweichung 8 gr.

Wahrscheinlich ist es zu einfach gedacht, dass ich dann bei einer Packung von einem Erwartungswert von 65*6=390 gr und einer Standardabweichung von 6*8=48 gr ausgehen kann, oder?

27.01.2021, 18:00

HAL 9000

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Wir haben unabhängig, identisch normalverteilte Größen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n\sim \mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=65 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=8 \end{eqnarray*}$ (Maßeinheit g lasse ich mal generell weg hier), hier für $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ auch normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} S_n\sim \mathcal{N}\left(n\mu,n\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ , und der Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{X}_n = \frac{1}{n}S_n \end{eqnarray*}$ ebenso, und zwar $\begin{eqnarray*} \bar{X}_n\sim \mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .

Die Teilaufgaben 1)2) führen auf eine davon abgeleitete, binomialverteilte Größe:

Sei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Anzahl (!) der Werte $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_k<60 \end{eqnarray*}$ . Durch das vorgegebene "unabhängig, identisch verteilt" ist $\begin{eqnarray*} Y\sim B(n,q) \end{eqnarray*}$ (Binomialverteilung) mit exemplarischen $\begin{eqnarray*} q:= P\left(X_1<60\right) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist in 1) $\begin{eqnarray*} P(Y=n) \end{eqnarray*}$ gesucht, in 2) hingegen $\begin{eqnarray*} P(Y>1) \end{eqnarray*}$ .

Für 3)4)5) denke man an die Vorüberlegungen, die ich oben zu $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \bar{X}_n \end{eqnarray*}$ angestellt habe.

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