Es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen

Neue Frage »

Zuse12345 Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen
Hallo,

ich soll die genannte Aussage beweisen oder widerlegen.

Ich denke, dass die Aussage wahr ist. Wenn ich beweisen müsste, dass es eine rationale Zahl zwischen zwei rationalen Zahlen a, b gäbe, würde ich wie folgt vorgehen:

Die Aussage ist wahr. Seien a, b \in Q mit a < b. Man setze c = a + b / 2. Nun ist c das arithmetische Mittel von a und b. Dann hilt a = 2a / 2 = a + a / 2 < a + b / 2 = c < b + b / 2. Damit wäre die Aussage bewiesen.

Nun weiß ich aber nicht wie ich beweise, dass es unendlich viele rationale Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen gibt. Kann mir da wer auf die Sprünge helfen?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Anordnung:


Das Mittel ist wieder eine rationale Zahl (warum?)
Jetzt wählt man als rechte Zahl b' bzw linke Zahl a' das (rationale) Mittel und wiederholt die Argumentation:
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die rationale Zahl liegt für beliebige natürliche Zahlen n=2, 3, 3, ... im Intervall [a;b]. Da es unendlich viel natürliche Zahlen gibt, sollte die Behauptung bewiesen sein.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

damit ist sicherlich abzählbare Unendlichkeit gemeint .

Zwischen 2 rat. Zahlen gibt es immer eine weitere rat. Zahl, ein abzählbarer aber
nicht endender Prozess.

Ansonsten kannst du zeigen, dass eine vollständige Auflistung geordneter rat. Zahlen nie vollständig sein kann.
Zuse12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Das Mittel ist wieder eine rationale Zahl (warum?)

Ich würde das so begründen: Eine rationale Zahl dividiert durch eine natürliche Zahl ergibt eine rationale Zahl. Da bei der Division einer rationalen Zahl r = a / b mit und durch eine ganze Zahl n eine rationale Zahl r' = (a/b)/2 = (a/(b*n)) erhält. Da b eine ganze Zahl war ist auch die Multiplikation b * n eine ganze Zahl. Ist das eine korrekte mathematische Argumentation?


Zitat:
Original von Luftikus
Jetzt wählt man als rechte Zahl b' bzw linke Zahl a' das (rationale) Mittel und wiederholt die Argumentation:


Ich verstehe. Man kann dieses Argument quasi unendlich oft wiederholen, daher gilt dies. Richtig?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zuse12345
Ich verstehe. Man kann dieses Argument quasi unendlich oft wiederholen, daher gilt dies. Richtig?


Ja, du konstruierst eine rekursive Folge rationaler Zahlen mit der vorgegebenen Bedingung.
Du kannst aber die Folge auch iterativ definieren, so dass sie mit der vorgegebenen Bedingung konform ist (siehe Ehos).
 
 
Zuse123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe smile
Gibt's hier einen "Danke"-Button oder so?

Der Thread geschlossen werden.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nein, den gibt's wahrscheinlich aus gutem Grund nicht.
Ein Bedanken auf Knopfdruck wäre ungefähr so persönlich wie ...
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zuse12345
Zitat:
Original von Luftikus
Das Mittel ist wieder eine rationale Zahl (warum?)

Ich würde das so begründen: Eine rationale Zahl dividiert durch eine natürliche Zahl ergibt eine rationale Zahl. Da bei der Division einer rationalen Zahl r = a / b mit und durch eine ganze Zahl n eine rationale Zahl r' = (a/b)/2 = (a/(b*n)) erhält. Da b eine ganze Zahl war ist auch die Multiplikation b * n eine ganze Zahl. Ist das eine korrekte mathematische Argumentation?


Mach dich von Darstellungen frei und betrachte die Körperaxiome für rationale Zahlen. (Summen und Produkte).
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »