Beweis von Ungleichung

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SonnenscheinLacht Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Ungleichung
Meine Frage:
Moin,

Die Ungleichung lautet: x-1-(x-1)²/2 < ln(x) im Intervall ]1,inf[

Ich soll das ganze mithilfe des Monotoniekriteriums beweisen.


Meine Ideen:
Die Funktionen betragen am Punkt x=1 den gleichen Wert.
Die erste Ableitung der ersten Funktion ist ja 2-x, also ist an 2 ein Hochpunkt und die Steigung im Intervall kommt ja nie über 1. Nun ist die Steigung von ln(x) im Intervall ja immer höher als 1, da sie ja streng monoton steigend ist und am Punkt x=1 1 beträgt. Daraus folgt, dass wenn die Funktionen am Punkt x=1 gleich sind und ln(x) ab dann eine größere Steigung hat, da ja monoton steigend, dass die Ungleichung gilt?

Vielen Dank im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte besser gleich die Differenzfunktion zwischen rechter und linker Seite und deren Ableitung!!! Da gerät man in weniger schwammiges Gebiet als das deiner eben vorgetragenen Erklärung...

Zitat:
Original von SonnenscheinLacht
Nun ist die Steigung von ln(x) im Intervall ja immer höher als 1

Ist im Gesamtintervall falsch.
SonnenscheinLacht Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL 9000! Hoffe du bleibst so hilfreich und sperrst mich nicht bald aus einem Raumschiff aus und tötest alle meine Freunde...
SonnenscheinLacht Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings hilft mir das auch nicht weiter?

Kannst du deinen Gedankengang näher erläutern?
SonnenscheinLacht Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sorry für Spam.

Ich habe jetzt, dass die Differenzfunktion am Punkt x=1 0 ist und die Ableitung der Differenzfunktion im Intervall ]1,inf[ immer größer 0 ist, also ist die Funktion streng monoton steigend. Reicht das als Erklärung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es! Freude

für alle .
 
 
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