Trigonometrische Funktionen

29.01.2021, 13:29

Lee45

Trigonometrische Funktionen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll die Werte der Funktion f(t)=a*cos(t)+cos(2t) in ihren stationären Punkten bestimmen in Abhängigkeit vom reellen Parameter a. Ich weiß überhaupt nicht was damit gemeint ist. Ich bitte um Hilfe.

Meine Ideen:
Vergeblich...

29.01.2021, 13:46

Steffen Bühler

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RE: Trigonometrische Funktionen
Na, da hat sich aber einer verschwurbelt ausgedrückt. Hier steht, was ein stationärer Punkt in diesem Fall bedeutet.

Ist einfach, oder?

Viele Grüße
Steffen

29.01.2021, 13:47

G290121

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RE: Trigonometrische Funktionen

Zitat:

Eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differential nicht surjektiv ist. Im eindimensionalen Fall ist dies gleichbedeutend damit, dass ihre Ableitung dort 0 ist. Andernfalls handelt es sich um einen regulären Punkt. Gibt es einen oder mehrere kritische Punkte im Urbild eines Punktes, nennt man ihn kritischen beziehungsweise stationären Wert, sonst: regulären Wert.

Leite also f(t) ab und setze die Ableitung Null!

29.01.2021, 13:53

rumar

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RE: Trigonometrische Funktionen
Mit den "stationären Punkten" sind wohl jene (Zeit-) Punkte $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ gemeint, für welche die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(t_i)\ =\ 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Berechne also die Ableitungsfunktion $\begin{eqnarray*} f'(t) \end{eqnarray*}$ und bestimme alle ihre Nullstellen $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ .
Dabei sollte man alle Werte im Grundintervall $\begin{eqnarray*} [0 .. 2\pi) \end{eqnarray*}$ zulassen.
Dann musst du an diesen in Frage kommenden Stellen den jeweiligen Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(t_i) \end{eqnarray*}$ angeben.

29.01.2021, 15:20

Lee45

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RE: Trigonometrische Funktionen
f'(t)=-a*sin(t)-2*sin(2t)=-a*sin(t)-2*2*cos(t)*sin(t)

0=-sin(t)*(a+4*cos(t))
t=arccos(-a/4)

f(t)=-a^2/4-a/4

So?

Was wird dann gemacht?

29.01.2021, 15:42

Steffen Bühler

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RE: Trigonometrische Funktionen
Du hast zunächst die Hälfte vergessen, denn die Ableitung ist auch Null für alle t mit sin(t)=0, denn der ist ja multiplikativ verknüpft. Welche t sind das?

Und auch für den anderen Term gibt es unendlich viele Nullstellen, wenn a im richtigen Bereich ist: Schau selbst für a=0, a=2, a=4:

Der Ansatz mit dem Arcuscosinus ist daher zwar richtig, aber die weiteren Nullstellen müssen auch noch angegeben werden.

29.01.2021, 15:49

G290121

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RE: Trigonometrische Funktionen
Die Ableitung von cos(2t) lautet: -2*sin(2t)

29.01.2021, 15:59

Lee45

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RE: Trigonometrische Funktionen
sin(t)=0

t=0
t=pi

a+4*cos(t)=0
Wie soll man dann da am besten die Nullstellen angeben?

29.01.2021, 16:22

Steffen Bühler

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RE: Trigonometrische Funktionen
Für $\begin{eqnarray*} \sin(t)=0 \end{eqnarray*}$ biete ich noch $\begin{eqnarray*} t=2 \pi, t=3 \pi, t=4 \pi, \dots \end{eqnarray*}$ Siehst Du, was ich meine?

Dasselbe gilt für den Cosinus! Natürlich ergibt Deine Lösung z.B. für a=0 den $\begin{eqnarray*} \arccos(0)=\frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$ . Aber das ist nur eine Nullstelle der oben gezeichneten roten Kurve! Weitere gibt es bei $\begin{eqnarray*} \frac {3 \pi}2, \frac {5 \pi}2, \dots \end{eqnarray*}$

Hier musst Du jeweils die Periodizität und Symmetrie beachten. Der Arcuscosinus gibt Dir immer nur den Hauptwert, den Rest musst Du selbst machen.

29.01.2021, 16:27

Lee45

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RE: Trigonometrische Funktionen
Vielen Dank!

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