Kegel als differenzierbare Mannigfaltigkeit?

29.01.2021, 20:05	Manticore	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegel als differenzierbare Mannigfaltigkeit? Meine Frage: Hallo, ich habe schon Vorkenntnisse in Differentialgeometrie, arbeite aber gerade die grundlegendsten Definitionen nochmal auf. An sich ist mir klar, dass ein einfacher Kegel keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, denn er hat eine nicht differenzierbare Spitze. Allerdings sehe ich das nicht so direkt an der Definition einer glatten Mannigfaltigkeit. Meine Ideen: Nehmen wir den Kegel: $\begin{eqnarray} <br /> K=\lbrace(x,y,z)\vert Z=\sqrt{x^2+y^2}\rbrace<br /> \end{eqnarray}$ Nun sehe ich mir die Definition eines diffbaren Atlas bzw einer diffbaren Mannigfaltigkeit an und finde, dass hier die Kartenwechsel jeweils Diffeomorphismen sein müssen. Allerdings ist es beim Kegel doch so, dass die Funktion $\begin{eqnarray} <br /> \phi:K\rightarrow \mathbb{R}^2,(x,y,z)\mapsto(x,y)<br /> \end{eqnarray}$ mit Umkehrung $\begin{eqnarray} <br /> \phi^{-1}:\mathbb{R}^2\rightarrow K,(x,y)\mapsto(x,y,\sqrt{x^2+y^2})<br /> \end{eqnarray}$ eine Karte auf dem Zylinder ist, die ihn komplett überdeckt. Also können wir hiermit doch einen Atlas auf dem Zylinder definieren, der nur die eine Karte enthält und dessen einziger Kartenwechsel daher $\begin{eqnarray} <br /> \phi\circ\phi^{-1}=id:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2<br /> \end{eqnarray}$ einfach nur die Identität ist und diese ist ein glatter Diffeomorphismus. Ist der Kegel daher eine glatte Mannigfaltigkeit bzgl dieses Atlanten oder habe ich einen Denkfehler in meiner Argumentation? Vielen Dank für eine Erläuterung.
31.01.2021, 11:36	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel als differenzierbare Mannigfaltigkeit? Ich kenne mich bei diesen Begriffen nicht mehr so aus (lang, lang ist's her ...). Für einen elementaren Test könnte man aber doch z.B. in der Ebene $\begin{eqnarray} \ \Re^2 \end{eqnarray}$ eine beliebige Gerade durch den Nullpunkt betrachten, also z.B. einfach die x-Achse "persönlich". Diese Gerade hat keinen Knick im Nullpunkt auf der flachen Karte, sehr wohl aber ihr Abbild auf der Kegelfläche. Damit ist "Differenzierbarkeit" oder "Glattheit" in diesem Punkt schon widerlegt. Ein hilfreiches Stichwort wäre bestimmt noch "Tangentialraum".

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