Auf Vektorraum prüfen

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Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Vektorraum prüfen
Hallo Leute,

Aufgabenstellung:

Beweisen oder widerlegen Sie, dass es sich bei der Menge um einen Vektorraum handelt.

Laut unserer Vorlesung gibt es 8 Eigenschaften für einen Vektorraum.

Leider weiß ich aber nicht ganz wie ich anfangen soll.
Ich denke die Eigenschaften einer kommutativen Gruppe muss ich nicht mehr zeigen, da diese vom R4 geerbt werden?

Dann wäre das nächste, dass gilt

Hat jemand einen Denkanstoß?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die einfachste aller Vektorraumprüfungen besteht darin, dass jeder Vektorraum, der einen Vektor enthält, auch den Nullvektor enthalten muss.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir für den Hinweis.



Die Vorgabe ist hier nicht erfüllt, da
ist.

Kann man damit also sagen, dass hier kein Vektorraum vorliegt?

Sollte die Bedingung mit dem Nullvektor aber erfüllt sein, wie schreibe ich hier z.B. das oben genannte vektorielle Distributivgesetz richtig auf?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nullvektor nicht in der Menge, also kein Vektorraum. Alle anderen Vektorraumaxiome sind damit für dieses Beispiel uninteressant. Übrigens ist (1,0,0,0) in der Menge, aber 2*(1,0,0,0) ist nicht darin. (1,0,0,0) und (0,1,0,0) in der Menge aber die Summe (1,1,0,0) nicht. Auch das spricht dagegen, dass die Menge ein Vektorraum ist. In der euklidischen Ebene ist die Menge aller mit der Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1. Ein Vektorraum sieht anders aus.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dennoch gerne wissen, wie ich vorgehen würde, wenn ich die Vektorraumaxiome der Reihe nach prüfe.

Wie wäre es bspw. mit dem Assoziativgesetz?



Wenn ich jetzt z.B. die Vektoren wähle (bei denen die Bedinung erfüllt ist), dann würde ja addiert rauskommen und die Bedingung nicht mehr erfüllt sein. Oder geht es hier nur darum, dass die beiden Seiten gleich sind, egal ob die Bedingung erfüllt ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im Vektorraum ist die Vektoraddition assoziativ. Diese Vektoraddition bleibt für jede Teilmenge assoziativ. Genau so bleiben alle Rechenregeln für alle Teilmengen gültig. Daraus leitet man das UVR-Kriterium ab: eine Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie nichtleer ist und gegenüber Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist. Die Eigenschaft nichtleer kann man oft prüfen, indem man untersucht, ob der Nullvektor in der Teilmenge liegt. Ist er drin, ist die Teilmenge nichtleer; ist er nicht drin, ist die Teilmenge kein Untervektorraum, also kein Vektorraum.
 
 
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie beweise ich hier, dass die Vektoraddition assoziativ ist? Auch, wenn es eigentlich schon durch das R^4 gegeben ist...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es doch ausführlich bewiesen. Wenn es für alle Vektoren gilt, dann gilt es genau so für spezielle Vektoren. Das Problem ist nur, dass die Summen nicht in der speziellen Teilmenge liegen.

Das UVR-Kriterium sagt, dass die Teilmenge kein Untervektorraum ist. Der Nullvektor ist nicht drin, Summen sind nicht drin, skalare Vielfache sind nicht drin.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz hab ich es immer noch nicht.
Wie kommst du nun auf die Unterräume, gefragt war nur, ob dies ein Vektorraum ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Teilmenge eines Vektorraumes, die ein Vektorraum ist, heißt Untervektorraum.
Eine Teilmenge eines Vektorraumes, die kein Untervektorraum ist, ist kein Vektorraum.
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