Stereographische Projektion der Sphäre

Neue Frage »

AnnaMarie99 Auf diesen Beitrag antworten »
Stereographische Projektion der Sphäre
Meine Frage:
Hallo,

Ich habe zwei Fragen zu dem Thema Untermannigfaltigkeiten.
Zu zeigen ist, dass:
eine lokale Parametrisierung der Einheitssphäre ist.
Ich habe U und V so gewählt, dass f die obere Sphäre parametrisiert (ohne den Äquator).

Meine Ideen:
Mein Problem ist jetzt nachzuweisen, dass f surjektiv ist, die anderen Bedingungen konnte ich schon zeigen. Ich finde einfach keine gute Argumentation oder Abbildungsvorschrift nach der f surjektiv ist.
Und das zweite Problem ist die gramsche Determinante zu berechnen.
Ich hab zwar schon allgemein ausgerechnet aber davon die Determinante zu berechnen klappt einfach nicht^^

Ich wäre euch für jeden Hinweis dankbar!
Liebe Grüße
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hättest das Drumherum deiner Abbildung etwas genauer angeben können. So muß man erst erraten, was wohl der Fragesteller will. Wenn ich das richtig interpretiere, suchst du einen Diffeomorphismus zwischen der -dimensionalen euklidischen Ebene und der -dimensionalen oberen Halbsphäre vom Radius 1.
Ich schreibe für die Elemente des und in Blockschreibweise mit für die Elemente des . Senkrechte Striche bezeichnen in jeder Dimension die euklidische Norm. Dann ist



die -dimensionale obere Halbsphäre. Für gilt , denn und . Damit ist



wohldefiniert und offensichtlich differenzierbar. Man kann die Umkehrabbildung unmittelbar angeben:



Jetzt weise nach: und . Dann ist .
AnnaMarie99 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort!
Ich hab jetzt gezeigt, dass
und gilt.
Also , damit ist f ja dann bijektiv.
Die restlichen Eigenschaften konnte ich, wie in der Frage ja geschrieben, schon nachweisen.

Bei der Berechnung von bin ich leider immer noch nicht weiter gekommen.

Wenn ich berechne, komme ich auf die Matrix:


Ich versteh nicht wie man davon allgemein die Determinante berechnen kann.
Ist das überhaupt der richtige Ansatz?

Liebe Grüße
AnnaMarie99 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat niemand eine Idee?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AnnaMarie99
Wenn ich berechne, komme ich auf die Matrix:



So etwas Ähnliches habe ich auch, nur mit der Hochzahl 4 statt 3. Definiere ich dann



so ist die Matrix aus deinem Beitrag. Für sie habe ich herausgefunden. Damit folgt:





Und wenn du fragst, wie ich gefunden habe: Ich habe die Fälle mit einem CAS gerechnet und dann unvollständige Induktion durchgeführt.

Diese Auskunft ist unverbindlich. Es wird keine Gewährleistung für die Richtigkeit übernommen.

EDIT
Falsche Exponenten korrigiert. (Hoffentlich sind sie jetzt richtiger.)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende Berechnung für habe ich mir überlegt.

Zur Abkürzung setze ich und bezeichne mit die -te Spalte der -reihigen Einheitsmatrix. Für die folgende Rechnung soll als Spalte geschrieben werden. Dann hat man



1. Schritt: Man verwendet zunächst die Linearität in der ersten Spalte:



Die Determinante von läßt sich berechnen: Aus der ersten Zeile zieht man den Faktor vor die Determinante. Dann multipliziert man das -fache der ersten Zeile zur zweiten, das -fache der ersten Zeile zur dritten und so weiter bis schließlich das -fache der ersten Zeile zur letzten. Auf diese Weise erhält man eine obere Dreiecksmatrix. Die Hauptdiagonale beginnt mit 1, an allen andern Positionen der Hauptdiagone steht . Somit gilt:



Im 1. Schritt erhält man daher die Formel



2. Schritt: Man verwendet die Linearität in der zweiten Spalte:



Die Determinante von berechnet man analog zu der von : Aus der zweiten Zeile zieht man den Faktor vor die Determinante. Dann multipliziert man das -fache der zweiten Zeile zur dritten, das -fache der zweiten Zeile zur vierten und so weiter bis schließlich das -fache der zweiten Zeile zur letzten. Wieder bekommt man eine obere Dreiecksmatrix, die in der Hauptdiagonalen mit zwei Einsen beginnt und an allen anderen Positionen der Hauptdiagonalen hat. Es folgt:



Das setzt man oben ein und rechnet



Im 2. Schritt erhält man daher die Formel



Und so geht das weiter bis zum -ten Schritt. Man erhält dort:



Geht man jetzt in zur Determinanten über, so folgt:



und somit:



Und bei diesem Ergebnis fragt man sich natürlich: Geht das alles nicht viel einfacher? Ich vermute irgendwo einen genialen Trick, sei es, daß man Beziehungen aus der Analysis einsetzt oder daß man bei der Determinantenberechnung mit trickreichen Umformungen arbeitet. Immerhin ist das jetzt mal ein Ergebnis, schwer zu Fuß erkämpft.
 
 
AnnaMarie99 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe die du dir gemacht hast!
Der Trick wäre gewesen die Matrix umzuformen und ihre Eigenwerte zu bestimmen. Das Ergebnis ist natürlich dasselbe.

Liebe Grüße
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »