Wieviele kleine Kugeln passen in eine große Kugel?

02.02.2021, 07:29

Heinzel

Wieviele kleine Kugeln passen in eine große Kugel?

Meine Frage:
Ich möchte für jeden Durchmesser einer großen Kugel berechnen wie viele kleine
ganze Kugeln mit jedem Durchmesser reinpassen.
Gegeben also Durchmesser Große Kugel und
Durchmesser kleine Kugel.

Meine Ideen:
wenn ich irgendwo anfange und Kugel an Kugel reihe komme ich nach einer gewissen Anzahl an die gegenüberliegende Seite, klar.
Das könnte ich nochmal um 90° versetzt machen und das Kugelkreuz was ich dann habe auch um 90° Grad drehen. Aber dann stoße ich schon an die Grenzen weil sich die Kugeln irgendwann überlappen würden.
Das sind meine Gedanken dazu und weiter komme ich nicht.
Ich suche also eine Formel wo ich die 2 Werte für die Durchmesser eingeben und
die Anzahl der Kugeln erhalte die reinpassen.
Vielleicht hat da jemand eine Idee,
meine Mathe Kenntnisse sind ungefähr auf Realschul Niveau von vor 50 Jahren,
also nicht mehr so ganz taufrisch.

02.02.2021, 08:32

adiutor62

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RE: Wieviele kleine Kugeln passen in eine große Kugel?
https://www.matheboard.de/archive/385501/thread.html

02.02.2021, 08:58

Heinzel19

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RE: Wieviele kleine Kugeln passen in eine große Kugel?
ah, cool

ich nehme also ca. 74% des Volumens der großen Kugel und teile das
durch das Volumen einer kleinen Kugel und erhalte so
die Anzahl der Kugeln die reinpassen ja?

Aber das kann ja nicht für alle Verhältnisse zwischen den Kugeln stimmen.
Wenn zbsp. die kleinere Kugel den halben Durchmesser der großen Kugel hat
würde die ja nur 2 mal reinpassen oder?
Das wäre ja dann eine Packungsdichte von 50 %
Oder mache ich da einen Denkfehler?

Auf jeden Fall schon mal Dank für die Antwort.
Ich hatte vorher auch schon mal selbst nachgesehen hier aber nix gefunden.

Willkommen im Matheboard!
Du bist nun zweimal angemeldet, Heinzel wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

02.02.2021, 09:04

Heinzel19

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Schätzwert
sorry, habe gerade gelesen
das das nur bei sehr großen großen Kugeln und sehr kleinen kleinen Kugeln ein guter Schätzwert ist.

Wirklich berechnen kann ma das wohl nicht oder?

02.02.2021, 09:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Heinzel19
Wirklich berechnen kann ma das wohl nicht oder?

Zumindest alles andere als einfach. Man kann eine ungefähre Anzahl schätzen, und dann muss man aber geometrisch rumtüfteln, ob diese Anzahl wirklich reinpasst, vielleicht eine mehr, eine weniger ... kurzum, eine ziemlich mühselige Bastelei, und sicher sauschwer zu automatisieren (in einem Algorithmus). Könnte mir aber gut vorstellen, dass das irgendwer schon mal gemacht hat, musst du mal recherchieren!

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Betrachten wir das zugehörige Problem in der Ebene, d.h. Packung von kleinen Kreisen vom Radius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ in einen großen Kreis vom Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ (da kann man erahnen, was dann auch im Raum für Effekte mit den Kugeln passieren kann):

Es gibt diese Anzahlfunktion $\begin{eqnarray*} N=N(R) \end{eqnarray*}$ , ja, aber sie in geschlossener Form darzustellen ist eine harte Nuss, selbst in der wohl einfacheren Ebene.

Sei beispielsweise $\begin{eqnarray*} R=3 \end{eqnarray*}$ , dann sieht man wie exakt 7 kleine Kreise in den großen passen: Einer in der Mitte, und sechs andere eng anliegend rundrum. Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nun minimal kleiner, d.h., $\begin{eqnarray*} R=3-\varepsilon \end{eqnarray*}$ , dann passen plötzlich nur noch 5 Kreise hinein. Wir haben somit $\begin{eqnarray*} N(3)=7 \end{eqnarray*}$ aber auch $\begin{eqnarray*} \lim_{R\nearrow 3} N(R)=5 \end{eqnarray*}$ .

D.h. die Vorstellung, man könnte evtl. $\begin{eqnarray*} N(R) = \left\lfloor f(R)\right\rfloor \end{eqnarray*}$ mit irgendeiner stetigen monoton wachsenden Funktion $\begin{eqnarray*} f(R) \end{eqnarray*}$ darstellen, kann man schon dieses einen Beispiels wegen vergessen, denn dann müsste auch $\begin{eqnarray*} N(R)=6 \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ möglich sein, was nicht der Fall ist.

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