Schnittpunkt von drei Geraden

02.02.2021, 09:43

samuel_bostelmann

Schnittpunkt von drei Geraden

Meine Frage:
Hallo Allerseits,

ich möchte zeigen, dass drei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben und zwar folgende...
g: 4y - 5z = 0
h: 5z - 3x = 0
f: 3x - 4y = 0

Meine Ideen:

Wenn ich das LGS löse, bekomme ich unendlich viele Lösungen dafür heraus. Ich könnte o.B.d.A. z = 1 wählen. Dann bekäme ich ja für alle Parameter eine Lösung und somit hätten alle drei Gleichungen einen gemeinsamen Schnittpunkt oder?

02.02.2021, 11:13

HAL 9000

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So wie du das aufgeschrieben hast, sind $\begin{eqnarray*} g,h,i \end{eqnarray*}$ keine Geraden-, sondern Ebenengleichungen. Und ja, die drei schneiden sich in einer Geraden durch den Ursprung mit Richtungsvektor (20,15,12).

02.02.2021, 12:57

samuel_bostelmann

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Danke für die Antwort. Ja also das sind ja Geraden in Linearkombination. Wenn a(x), b(x), c(x) drei Geradengleichungen beschreiben, eigentlich eher so:

4 b(x) - 5 c(x) = 0
5 c(x) - 3 a(x) = 0
3 a(x) - 4 c(x) = 0

Und dann möchte ich eben zeigen, dass die alle durch einen gemeinsamen Punkt gehen.

02.02.2021, 13:18

HAL 9000

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Nochmal: Was du da geschrieben hattest, sind Ebenengleichungen. Wenn du es noch deutlicher haben willst, dann vielleicht so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} g:\; 0\cdot x + 4\cdot y - 5\cdot z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h:\; -3\cdot x + 0\cdot y + 5\cdot z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i:\; 3\cdot x - 4\cdot y + 0\cdot z = 0 \end{eqnarray*}$

02.02.2021, 13:26

samuel_bostelmann

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Das verstehe ich schon. Aber wie zeige ich denn nun, dass die alle einen gemeinsamen Punkt haben?

02.02.2021, 13:28

samuel_bostelmann

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Das sind ja alles Geraden unterschiedlicher Geradenbüschel in der Ebene.

02.02.2021, 13:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von samuel_bostelmann
Aber wie zeige ich denn nun, dass die alle einen gemeinsamen Punkt haben?

Hallo? Damit sind wir doch längst durch!!! Setze die Punkte der Gerade $\begin{eqnarray*} (x,y,z) = (20,15,12)t \end{eqnarray*}$ ein und du wirst sehen, dass sie in sämtlichen drei Ebenen $\begin{eqnarray*} g,h,i \end{eqnarray*}$ liegen.

04.02.2021, 10:27

samuel_bostelmann

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Vllt bin ich zu dumm, aber a(x) = 0, b(x) = 0, c(x) = 0. Das heißt doch, dass ich nicht einfach irgendeinen Punkt einsetzen kann. Es muss ja ein X-Wert sein, für den die Gleichung dann Null ist...

04.02.2021, 10:55

HAL 9000

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Mal ganz, ganz, ganz langsam extra für dich: Sei $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine beliebige, aber feste reelle Zahl, und wir betrachten den Punkt mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} x=20t \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=15t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=12t \end{eqnarray*}$ und setzen diesen Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ in die drei Ebenengleichungen

Zitat:

Original von samuel_bostelmann
g: 4y - 5z = 0
h: 5z - 3x = 0
f: 3x - 4y = 0

ein: Sind diese drei Gleichungen dann für diesen Punkt erfüllt, oder sind sie es nicht?

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