Haupträume bestimmen

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02.02.2021, 10:07	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Haupträume bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe. Die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}_{\leq 2}\left [ x \right ] \rightarrow \mathbb{C}_{\leq 2}\left [ x \right ], p = ax^2+bx+c \mapsto f\left ( p \right ) = 2ax^2+\left ( a+c \right )x+\left ( a-b+c \right ) \end{eqnarray}$ lineare Abbildung. Bestimme alle Haupträume von f. Meine Ideen: Soweit so gut, ich habe mir folgendes überlegt: 1. Basis $\begin{eqnarray} C = \left ( 1,x,x^2 \right ) \end{eqnarray}$ wählen 2. Darstellende Matrix von f bezüglich C bestimmen, da das charakteristische Polynom von f nicht von der gewählten Basis abhängt. 3. Bekomme $\begin{eqnarray} \left [ f \right ]_C = \begin{pmatrix}<br /> 2& 0 & 0\\ <br /> 1 & 0 & 1\\ <br /> 1& -1 & 1<br /> \end{pmatrix} := A \end{eqnarray}$ 4. Eigenwerte ausrechnen: Hier bekomme ich jetzt allerdings $\begin{eqnarray} \chi_A\left ( \lambda \right ) = -\left ( \lambda -2 \right )\cdot \left ( \lambda^2-\lambda +1 \right ) \end{eqnarray}$ mit den nicht ganz trivialen Eigenwerten von dem Polynom $\begin{eqnarray} \left ( \lambda^2-\lambda +1 \right ) \end{eqnarray}$ . Anderesseits befinde ich mich ja in einem komplexen Vektorraum..., nur bin etwas skeptisch, da die Eigenwerte zum Weiterrechnen doch sehr ungeeignet sind... Liegt mein Fehler in der Berechnung der darstellenden Matrix oder woanders? Vielen Dank und MFG!
02.02.2021, 11:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Darstellungsmatrix gehört zur Basis $\begin{eqnarray} (x^2,x,1) \end{eqnarray}$ , die Ordnung der Basis ist immer zu beachten. Das charakteristische Polynom hat Grad 3, also 3 komplexe Nullstellen. Drei Eigenwerte, kein Problem.
02.02.2021, 11:50	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Bei der Basis habe ich mich natürlich verschrieben, es muss natürlich (1,x,x^2) heißen. Also ist meine Darstellungsmatrix richtig und war einfach nur "abgeschreckt" von den nicht ganz trivialen komplexen Nullstellen, da ja lauten: $\begin{eqnarray} \lambda_1 = 2, \lambda_2 = \frac{1+i\cdot \sqrt{3}}{2}, \lambda_3 = \frac{1-i\cdot \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ . Finde das Weiterrechnen mit den Eigenwerten nicht so vorteilhaft, da hätte sich der Aufgabensteller etwas Anderes überlegen können. Vielen Dank für die Hilfe!
02.02.2021, 13:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Basis $\begin{eqnarray} (1,x,x^2) \end{eqnarray}$ haben willst, dann musst du die Spalten der Matrix vertauschen. $\begin{eqnarray} \lambda_2=\sqrt[3]{-1}=\sqrt[6]1,\lambda_3=\overline{\lambda_2}=-\sqrt[3]{1} \end{eqnarray}$ sind weitere Schreibweisen der Eigenwerte. Sehr kompliziert sind komplexe Zahlen nicht, du sollst nicht den Aufgabensteller beschimpfen sondern musst dich daran gewöhnen.
02.02.2021, 13:33	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nochmal verschrieben C = (x^2,x,1). So jetzt aber. Bezüglich der komplexen Zahlen: Das Rechnen fällt mir auch nicht schwer, nur der Didaktik wegen fände ich es besser eine solche eh schon längere Aufgabe nicht noch unnötig zu verkomplizieren, des Mehrwerts wegen In der Klausur würde sowas vermutlich nie vorkommen. Vielen Dank für die Hilfe!
02.02.2021, 13:35	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage noch: Wie kommen sie auf die 2. Darstellungs des von Lambda2, also die (1)^(1/6) ?
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02.02.2021, 14:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich hier um die einfachsten komplexen Wurzeln, das sind sogenannte Einheitswurzeln. Sie heißen so, weil Potenzen davon die 1 ergeben. Sie liegen symmetrisch auf dem Einheitskreis, das ist der Kreis um 0 mit Radius 1. Geometrisch sehr leicht darzustellen, leicht zu merken, und man kann gut damit umgehen ohne sich anzustrengen. Deshalb immer wieder sehr beliebt in Übungsaufgaben. Hier sind die sechs sechsten Einheitswurzeln, sie genügen alle der Gleichung $\begin{eqnarray} z^6=1 \end{eqnarray}$ . Rechts oben und rechts unten liegen $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ .
02.02.2021, 15:05	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahnsinn, vielen Dank!
05.02.2021, 09:50	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, ich melde mich nochmal in der Hoffnung, dass ich eine Antwort kriegen. Ich habe erneut eine solche Aufgabe durchgearbeitet, welche allerdings einen Zusatz hat. Außerdem ist mir aufgefallen, dass ich einen kleinen Fehler in der Aufgabestellung gemacht habe. Die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}\left [ x \right ]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{C}\left [ x \right ]_{\leq 2}, p = ax^2+bx+c \mapsto f\left ( p \right ) = 2a^x+\left ( a+c \right )x+\left ( a-b+2c \right ) \end{eqnarray}$ lineare Abbildung. (Der Unterschied ist in der letzten Klammer, 2c anstatt c) 1) Bestimme Haupträume von f 2) Bestimmen Sie die additive Jordan-Zerlegung von f und geben Sie für den diagonalisierbaren und nilpotenten Anteil von f konkret an, worauf die zugehörigen Abbildungen ein gegebenes Polynom $\begin{eqnarray} ax^2+bx+c \in \mathbb{C}\left [ x \right ]_{\leq 2} \end{eqnarray}$ abbilden. Soweit so gut: Habe die darstellende Matrix bestimmt, welche $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0 & 0\\ <br /> 1 & 0 &1 \\ <br /> 1 & -1 & 2<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entspricht, bezüglich $\begin{eqnarray} C = \left ( x^2,x,1 \right ) \end{eqnarray}$ geo. Basis von dem VR. Dafür habe ich die Haupträume berechnet (die Eigenwerte sind auch deutlich angenehmer) Dann habe ich die Jordan-Normalform $\begin{eqnarray} J_A = \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 & 0\\ <br /> 0& 1 & 0\\ <br /> 0& 0 & 2<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgestellt, mit diagonalisierbarem Anteil $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix}<br /> 1 & & 0\\ <br /> 0& 1 & 0\\ <br /> 0& 0 & 2<br /> \end{pmatrix} [latex] und nilpotentem Anteil [latex] N = \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 & 0\\ <br /> 0& 0 & 0\\ <br /> 0& 0 & 0<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . D und N kommutieren auch bezüglich Multiplikation. Nun wollte ich mich dem letzten Teil der Aufgabe widmen: Habe hierfür folgendes berechnet: Sei $\begin{eqnarray} C = \left ( x^2,x,1 \right ) \end{eqnarray}$ geo. Basis von dem VR und $\begin{eqnarray} p = ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ entspricht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> a\\ <br /> b\\ <br /> c<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann gilt für den nilpotenten Anteil: $\begin{eqnarray} f_N\left ( \begin{pmatrix}<br /> a\\ <br /> b\\ <br /> c<br /> \end{pmatrix} \right ) = \begin{pmatrix}<br /> b\\ <br /> 0\\ <br /> 0<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 & 0\\ <br /> 0 & 0 & 0\\ <br /> 0& 0 & 0<br /> \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}<br /> a\\ <br /> b\\ <br /> c<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f_N:\mathbb{C}\left [ x \right ]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{C}\left [ x \right ]_{\leq 2}, p = ax^2+bx+c \mapsto f\left ( p \right ) = bx^2 \end{eqnarray}$ Es gilt für den diagonalisierbaren Anteil: $\begin{eqnarray} f_D\left ( \begin{pmatrix}<br /> a\\ <br /> b\\ <br /> c<br /> \end{pmatrix} \right ) = \begin{pmatrix}<br /> a\\ <br /> b\\ <br /> 2c<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 & 0\\ <br /> 0 & 1 & 0\\ <br /> 0& 0 & 2<br /> \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}<br /> a\\ <br /> b\\ <br /> c<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f_D:\mathbb{C}\left [ x \right ]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{C}\left [ x \right ]_{\leq 2}, p = ax^2+bx+c \mapsto f\left ( p \right ) = ax^2+bx+2c \end{eqnarray}$ Jedoch gilt $\begin{eqnarray} f = f_D + f_N \end{eqnarray}$ leider nicht, was mache ich also falsch? MFG
05.02.2021, 09:52	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Ganz oben muss natürlich stehen $\begin{eqnarray} f\left ( p \right ) = 2ax^2+\left ( a+c \right )x+\left ( a-b+2c \right ) \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} f\left ( p \right ) = 2a^x+\left ( a+c \right )x+\left ( a-b+2c \right ) \end{eqnarray}$
05.02.2021, 10:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} J=D+N\ne A \end{eqnarray}$ . Erwartest du, dass $\begin{eqnarray} J=A \end{eqnarray}$ gelten sollte ? Das kann nicht sein. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} (x^2,x,1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ ist die Darstellungsmatrix bezüglich einer anderen Basis. Sinn und Zweck der Normalformen für Matrizen ist, dass man eine Basis aus Eigenvektoren oder Hauptvektoren findet, so dass die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis möglichst einfach aussieht und die lineare Abbildung auf dieser Basis leicht zu verstehen ist. Eigenvektoren werden von einer linearen Abbildung nur skaliert, einfacher geht es nicht.
05.02.2021, 11:37	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz was damit gemeint ist, was bedeutet das für meine Argumenation unten? Ist der Ansatz falsch?
05.02.2021, 11:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Ansatz ist falsch. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ arbeitet auf der Basis $\begin{eqnarray} (x^2,x,1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} J=D+N \end{eqnarray}$ arbeitet auf einer Basis aus Eigenvektoren und Hauptvektoren.
05.02.2021, 13:53	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich dieses Problem denn umgehen? Gibt es einen Trick?
05.02.2021, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keinen Trick, es gibt nur das Standardverfahren. Man berechnet eine Basis, die aus Eigenvektoren besteht, also zu jedem Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine Basis des Kerns von $\begin{eqnarray} A-\lambda E \end{eqnarray}$ , indem man homogene LGSe löst. Gibt es eine Basis aus Eigenvektoren, so ist die Matrix diagonalisierbar und die Normalform enthält die Eigenwerte in der Hauptdiagonale der Darstellungsmatrix. Diese Matrix stellt die lineare Abbildung bezüglich der Basis aus Eigenvektoren dar. Ist die Matrix nicht diagonalisierbar, berechnet man zusätzlich Hauptvektoren, das sind Elemente des Kerns von $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^k,k>1 \end{eqnarray}$ . Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren und Hauptvektoren wird die lineare Abbildung durch die Jordannormalform dargestellt.
05.02.2021, 15:48	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah jetzt verstehe ich es: Die war nicht diagonalisierbar, die Eigenräume und Haupträume habe ich berechnet und jeweils durch Basen dargestellt. Die Matrix S für die Jordan-Normalform J = S^(-1)AS habe ich aufgstellt. J hat diagonalisierbaren und nilpotenten Anteil. Also muss ich nun mit der Matrix S und der Basen aus Eigenvektoren und Hauptvektoren arbeiten?
05.02.2021, 17:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Matrix $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ und der Basis $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray}$ für die gilt $\begin{eqnarray} Jx_1=f(x_1)=x_1,Jx_2=f(x_2)=x_1+x_2,Jx_3=f(x_3)=2x_3 \end{eqnarray}$ hast du alles, was du brauchst. Die Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ vermittelt nur den Basiswechsel (siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum) "Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen, Spezialfall f Endomorphismus, ähnliche Matrizen"). Wenn du noch weitere Probleme oder Fragen hast, darfst du sie gerne stellen.
05.02.2021, 19:10	Kryptogießler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, ich glaube ich habe jetzt alles. Falls es dennoch Probleme gibt, dann komme ich gerne auf das Angebot zurück! Vielen Dank!

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