Integrationsgrenzen im Doppelintegral

02.02.2021, 11:31

justlikemanuel

Integrationsgrenzen im Doppelintegral

Moin allerseits,

meine Kommilitonen und ich sitzen gerade vor einem Problem.
Ich hab hier einmal die Aufgabe:
und zwar ist q(x) 1 für x in [0,1] und 2 für x>1.
Wir sollen das Integral von 0 bis x über das Integral von 0 bis u integrieren.
Ich hoffe, ich habe das in Latex korrekt programmiert: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} (\int_{0}^{t} q(t) \,dt )\,du \end{eqnarray*}$

Nun verzweifeln wir gerade an der Frage, ob nur das innere integral unterteilt werden muss (in 0 bis 1 und 1 bis t), oder auch das äußere. Abhängig davon erhalten wir als Term entweder x²-x+0,5 oder x²-x.
Ich sage schon einmal vielen Dank, wenn uns jemand unseren Denkfehler zeigt!
Mfg Manuel

02.02.2021, 12:42

HAL 9000

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Die obere Integrationsgrenze des inneren $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Integrals ist WIRKLICH $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , und nicht etwa $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Gut, gehen wir von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aus. Abgesehen davon, dass das (leider oft gesehener) schlechter Stil ist, für (interne) Integrationsvariablen dieselben Symbole zu wählen wíe für äußere Variablen/Parameter, so kann man dann doch in diesem Fall auftrennen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^x \left(\int\limits_0^t q(t) ~ \dd t \right) \dd u = \int\limits_0^x \dd u \cdot \int\limits_0^t q(t) ~ \dd t = x\cdot \int\limits_0^t q(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von justlikemanuel
Wir sollen das Integral von 0 bis x über das Integral von 0 bis u integrieren.

Erst jetzt gelesen - also doch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ! Aber Leopold hat inzwischen alles durchgerechnet. Augenzwinkern

02.02.2021, 12:49

Leopold

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Irgendwo ist da ein Fehler in der Angabe. Ich denke einmal, daß die obere Grenze des inneren Integrals $\begin{align*} u \end{align*}$ heißen soll. Ferner dürfte wohl $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ vorausgesetzt sein, da über $\begin{align*} q(t) \end{align*}$ für negative $\begin{align*} t \end{align*}$ nichts bekannt ist. Bitte solche Voraussetzungen immer mitteilen, sonst müssen die Helfer hier zu viel raten. Es geht dann wohl um die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ mit

$\begin{align*} f(x) = \int \limits_0^x \int \limits_0^u q(t) ~ \dd t ~ \dd u \, , \ \ x \geq 0 \end{align*}$

Ich würde eine Fallunterscheidung vornehmen: $\begin{align*} 0 \leq x \leq 1 \end{align*}$ (1. Fall) oder $\begin{align*} x > 1 \end{align*}$ (2. Fall).

1. Fall: Hier gilt $\begin{align*} 0 \leq t \leq u \leq x \leq 1 \end{align*}$

$\begin{align*} f(x) = \int \limits_0^x \int \limits_0^u \dd t ~ \dd u \end{align*}$

2. Fall: Hier gilt $\begin{align*} 0 \leq t \leq u \leq x \end{align*}$ mit $\begin{align*} x > 1 \end{align*}$

Die äußere Integration würde ich aufspalten für die Intervalle $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ und $\begin{align*} [1,x] \end{align*}$ . Über $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ ist es der Spezialfall $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ des 1. Falls. Über $\begin{align*} [1,x] \end{align*}$ gilt $\begin{align*} 1 \leq u \leq x \end{align*}$ und $\begin{align*} 0 \leq t \leq u \end{align*}$ . Man muß daher das $\begin{align*} t \end{align*}$ -Intervall noch einmal aufspalten in $\begin{align*} t \in [0,1] \end{align*}$ und $\begin{align*} t \in [1,u] \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} x>1 \end{align*}$ rechnet man also:

$\begin{align*} f(x) = \int \limits_0^1 \int \limits_0^u \dd t ~ \dd u \ + \ \int \limits_1^x \ \left( \ \int \limits_0^1 \dd t \ + \ \int \limits_1^u 2 ~ \dd t \ \right) ~ \dd u \end{align*}$

Und wenn ich mich nicht vertippt habe, stimmt das sogar.

Als Ergebnis habe ich das Folgende erhalten:

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x^2 - x + \frac{1}{2}, & x \geq 1 \end{cases} \end{align*}$

Den Fall $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ habe ich zu beiden Fällen genommen, da die Terme keine unterschiedlichen Ergebnisse liefern. Wie immer entsteht durch eine Integration eine stetige Funktion. Hier ist $\begin{align*} f \end{align*}$ sogar differenzierbar.

@ HAL: Die Merkwürdigkeit in der Angabe haben wir wohl beide registriert, aber unterschiedlich behandelt. Mein Ergebnis paßt zum Teilergebnis des Fragestellers besser. Ich vermute daher, daß ich mit meiner Interpretation richtig liege. Ärgerlich sind die Schlampereien in der Angabe auf jeden Fall. Wollen wir es gnädig auf Latex-Probleme für Neulinge zurückführen. Augenzwinkern

02.02.2021, 12:53

HAL 9000

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Man könnte auch zunächst die Integrationsreihenfolge tauschen, dann muss man sich in der Fallunterscheidung nur noch mit einem Einfachintegral plagen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int\limits_0^x \int\limits_0^u q(t) ~ \dd t ~ \dd u = \int\limits_0^x \int\limits_t^x q(t) ~ \dd u ~ \dd t = \int\limits_0^x (x-t)q(t) \dd t \end{eqnarray*}$

02.02.2021, 13:08

Leopold

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Definieren wir $\begin{align*} Q(t) = \int_0^t q(\xi) ~ \dd \xi \end{align*}$ , also $\begin{align*} Q(t) = \begin{cases} t, & 0 \leq t \leq 1 \\ 2t-1, & t>1 \end{cases} \end{align*}$

so können wir bei deinem Ansatz sogar mit partieller Integration weiterrechnen. Der integralfreie Teil bei der partiellen Integration verschwindet, und man erhält

$\begin{align*} \int_0^x (x-t) q(t) ~ \dd t \ = \ \int_0^x Q(t) ~ \dd t \end{align*}$

02.02.2021, 13:32

HAL 9000

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Dann treib ich das noch weiter auf die Spitze: Mit $\begin{eqnarray*} Q(t) = \frac{3t-1 + |t-1|}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int |u| ~ du = \frac{1}{2}u|u| \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3x^2-2x+1 + (x-1)|x-1|}{4} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

02.02.2021, 14:56

Leopold

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Ob jetzt das Maximum an Ästhetik erreicht ist?

03.02.2021, 22:02

justlikemanuel

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Oh tut mir leid!!

Ich hab das einfach nicht mehr gesehen!

Aber vielen Dank für Deine Hilfe smile

Ich ändere es hab, falls jmd die gleiche Frage hat.

03.02.2021, 22:06

justlikemanuel

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@Leopold Erst mal vielen Dank für die Antwort!

Ja, die innere obere Grenze hab ich falsch eingegeben, dafür entschuldige ich mich smile

Bei eigenen Beiträgen ist man bekanntlich blind auf etwaige Tippfehler.

Entschuldigen Sie, dass ich noch einmal frage: Aber wieso wird auch das äußere Integral aufgeteilt?
Wie gesagt, das war auch zuerst meine Lösung, aber der Tutor meinte, dass nur das innere Integral aufgeteilt wird. Leider konnte ich den Tutor seither nicht mehr erreichen.

03.02.2021, 22:40

Leopold

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Wie du an HALs Vorschlag und den folgenden Beiträgen sehen kannst, gibt es nicht nur einen Weg. Entscheidend ist, ob ein Weg stimmt oder nicht. Die Aussage "aber der Tutor meinte, dass nur das innere Integral aufgeteilt wird" ist mir viel zu unpräzise. Vielleicht kennt der Tutor einen Weg, der an irgendeiner Stelle eine Aufspaltung vermeidet. Aber einfach so kann ich mit dieser Aussage nichts anfangen.

Machen wir es doch umgekehrt. Ich habe dir sehr detailliert einen möglichen Weg dargelegt. Ja sag mir bitte, an welcher Stelle ich unnötigerweise eine Aufspaltung vorgenommen habe. Dann können wir darüber reden. Ich gehe natürlich von meinem Vorschlag mit der originalen Integrationsreihenfolge aus.

04.02.2021, 09:03

justlikemanuel

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siehe unten

04.02.2021, 09:03

justlikemanuel

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Zitat:

Original von justlikemanuel
Der Vorschlag des Tutors: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \bigg ( \int_{0}^{1} 1 \,dt + \int_{1}^{u} 2 \,dt\, \bigg )du \end{eqnarray*}$

04.02.2021, 09:18

Leopold

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Diese Rechnung ist falsch. Wenn statt der Integranden 1 beziehungsweise 2 dort $\begin{align*} q(t) \end{align*}$ stehen würde, wäre es richtig. Im zweiten Summanden hängt es davon ab, ob $\begin{align*} u \leq 1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} u>1 \end{align*}$ gilt.

Die Zeichnung illustriert den Fall $\begin{align*} x>1 \end{align*}$ . Stell sie dir auf dem Tisch vor dir liegend vor. Zusätzlich zur $\begin{align*} u \end{align*}$ - und $\begin{align*} t \end{align*}$ -Achse führt vom Ursprung aus eine weitere Achse senkrecht vom Tisch nach oben. Nennen wir sie $\begin{align*} z \end{align*}$ -Achse.

[attach]52620[/attach]

Über dem blauen Parallelstreifen befindet sich in der Höhe $\begin{align*} \color{blue} z = q(t) = 1 \end{align*}$ ein parallel zum Tisch verlaufendes Dach, über der roten Fläche ebenso, aber mit der Höhe $\begin{align*} \color{red} z = q(t) = 2 \end{align*}$ . Gesucht ist nun das Volumen zwischen der schraffierten Dreiecksfläche und den Dächern. Genau dieses Volumen berechnet nämlich dein Integral.
Offenbar setzt sich der betreffende Körper aus zwei Prismen zusammen. Das eine hat das blau schraffierte Trapez als Grundfläche und die Höhe 1, das andere die rot schraffierte Dreiecksfläche als Grundfläche und die Höhe 2.
Die Trapezfläche setzt sich aus einer Dreiecksfläche links vom Inhalt $\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \end{align*}$ und einer Rechtecksfläche rechts vom Inhalt $\begin{align*} (x-1) \cdot 1 = x-1 \end{align*}$ zusammen. Der Inhalt der Trapezfläche ist daher

$\begin{align*} T = \frac{1}{2} + (x-1) = x - \frac{1}{2} \end{align*}$

Die rot schraffierte Dreiecksfläche hat den Inhalt

$\begin{align*} D = \frac{1}{2} (x-1)^2 \end{align*}$

Das Volumen des Körpers aus den zwei Prismen ist daher

$\begin{align*} V = T \cdot 1 + D \cdot 2 = \left( x - \frac{1}{2} \right) \cdot 1 + \frac{1}{2} (x-1)^2 \cdot 2 = x^2 - x + \frac{1}{2} \end{align*}$

04.02.2021, 22:32

justlikemanuel

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Okay, dann weiß ich jetzt, wie ich die Integrale aufteilen muss und kann mir vor allem ein Bild davon machen (vielen Dank für die Zeichnung und die Mühe!). Es schadet ja nie, eine gewisse Intuition zu entwickeln.

Eventuell sind mit dem Tutor auch Missverständnisse durch die OnlineKonferenz entstanden, wobei das wohl eher unwahrscheinlich ist (ich kann ja auch einen Fehler gemacht haben).
Erstaunlich, dass die Musterlösung des Analysisprofs auch falsch war...aber er ist auch nur ein Mensch!

Vielen Dank noch einmal, ich habe wieder etwas gelernt.

04.02.2021, 22:42

Leopold

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Zitat:

Original von justlikemanuel
Erstaunlich, dass die Musterlösung des Analysisprofs auch falsch war...aber er ist auch nur ein Mensch!

Das ist einerseits richtig, und es ehrt dich, wenn du dem Professor den Fehler nachsiehst. Auf der anderen Seite sollte man das so nicht stehen lassen. Wenn schon eine solche irgendwie simple und dann doch wieder nicht ganz einfache Aufgabe gestellt wird, dann sollte man auch zur richtigen Lösung kommen. Man sollte den Tutor oder Professor auf den Fehler aufmerksam machen, damit auch der ganze Kurs davon profitiert und nicht das Falsche beigebracht bekommt. Ich denke, du bringst die nötige Diplomatie auf, damit sich niemand verletzt fühlt.

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