Partielle Ableitung einer 2D-Faltung

02.02.2021, 15:22	josef.k	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitung einer 2D-Faltung Hallo zusammen, meine grundlegende Fragestellung ist eine physikalische. Ich habe eine 2-dimensionale Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ welche durch die Faltung zweier anderer Verteilungen $\begin{eqnarray} \epsilon_1(x,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon_2(x,y) \end{eqnarray}$ definiert ist: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \epsilon_1(x,y) \ast \epsilon_2(x,y) \end{eqnarray}$ Nun möchte ich den statistischen Fehler von f berechnen, wofür ich für die Fehlerfortpflanzung $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial \epsilon_1} \Delta\epsilon_1 \end{eqnarray}$ berechnen muss. Da mich die Ableitung der Faltung vor größere Probleme gestellt hat, dachte ich, eventuell kann man über die Fouriertrafo gehen und ich bin folgendemaßen gestartet: $\begin{eqnarray} <br /> \Delta\epsilon_1\frac{\partial f}{\partial \epsilon_1} \Delta\epsilon_1=\Delta\epsilon_1\frac{\partial}{\partial \epsilon_1}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1 \int_{-\infty}^{\infty}dk_2 \exp(ik_1x+ik_2y) \left[ \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \epsilon_1 \exp(-ik_1x-ik_2y)dx\,dy\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\epsilon_2 \exp(-ik_1x-ik_2y) dx\,dy\right]<br /> \end{eqnarray}$ wenn ich an dieser Stelle nun die Ableitung nach $\begin{eqnarray} \epsilon_1 \end{eqnarray}$ rein ziehe (darf ich das an der Stelle?) entsteht im vorletzten Doppelintegral die Fouriertrafo von 1, was die Dirac Delta Funktion ergibt, oder? An der Stelle weiß ich dann nicht mehr so wirklich weiter... Wahrscheinlich sind meine Analysis-Vorlesungen doch schon zu lange her Vielleicht kann mir ja jemand helfen, die Fouriertransformationen wieder aufzulösen, damit ich am Ende einen einigermaßen implementierbaren Ausdruck für die Ableitung bekomme. Ein alternativer Lösungsweg ist natürlich auch voll ok. Besten Dank, Josef

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