Stetige Funktion

02.02.2021, 21:22

Tomatensaft1

Stetige Funktion

Meine Frage:
Hi,

im Hinweis steht, dass ich die Stammfunktion so wählen soll, dass die stammfunktion differenzierbar ist.
Ich habe die Aufgabe berechnet, aber weiß noch nicht so ganz, was ich dem hinzufügen soll, damit die Funktion stetig ist.

Meine Ideen:
Würde mich auf Hilfe freuen.

02.02.2021, 21:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tomatensaft1
Ich habe die Aufgabe berechnet, aber weiß noch nicht so ganz, was ich dem hinzufügen soll, damit die Funktion stetig ist.

Da gibt es nichts hinzuzufügen - zum richtigen "Berechnen" gehört es einfach dazu, dass die Stammfunktion stetig ist. Das betrifft im Falle (b) ganz besonders die Intervallübergangsstelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Aber genug der Vorrede: Was sind denn deine Ergebnisse?

02.02.2021, 21:34

Leopold

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Nein, du sollst die Stammfunktion nicht so wählen, daß sie differenzierbar ist. Stammfunktionen sind immer differenzierbar. Du sollst nur bei der zusammengesetzten Funktion beim Stammfunktionfinden keinen Fehler machen. Deswegen ist dir der Hinweis gegeben, daß Stammfunktionen differenzierbar, insbesondere stetig sind.

siehe auch hier

02.02.2021, 21:38

Tomatensaft10

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Ach so. Hm. Also ich habe beide Funktionen jeweil einzeln integriert, aber auch einfach ganz normal integriert, wie man es sonst auch tut, ich war um ehrlich gesagt auch schon über die schreibweise etwas verwirrt ( x < 0 ) weil ich bei solchen Aufgaben in solchen Fällen nicht sicher bin was ich mit der info machen soll Hammer

02.02.2021, 21:43

Leopold

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Du mußt die Integrationskonstanten der Einzelteile so bestimmen, daß sich die Graphenstücke an der Anschlußstelle zusammenfügen.

So. Und jetzt sag endlich mal dein Ergebnis.

Übrigens: Geht es in eurer Vorlesung immer so fruchtig zu? Tomatensaft und Obstsalat (siehe Link in meinem ersten Beitrag).

02.02.2021, 21:54

Tomatensaft10

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Aha, aha Mathe 1 macht also so einigen zu schaffen.
Zu meinem Ergebnis, also für die b: F(x)= 3x^2/ln(3)+x(+C) und für das zweite habe ich F(x)= e^2x/2(+C)

02.02.2021, 22:23

Leopold

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Du hast da etwas Grundsätzliches nicht verstanden. Bei $\begin{align*} g \end{align*}$ (so heißt die Funktion übrigens) handelt es sich nicht um zwei Funktionen, sondern um eine. Entsprechend mußt du zunächst eine Stammfunktion bestimmen. Wenn du dann diese eine hast, bekommst du aus ihr alle andern durch Addition einer beliebigen Konstanten. Du kannst aber nicht an die beiden Einzelteile einfach "+C" schreiben. Das ist sinnlos.

02.02.2021, 22:41

Tomatensaft10

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Ja, doch ich habe verstanden, dass es eine Stammfunktion sein soll die dann mithilfe von Addition diese beiden Rechnungen verbinden soll. Das +C habe ich auch deshalb in Klammern geschrieben, weil ich gerade nicht weiß, welche Konstante ich wählen soll, um die zwei Rechnungen miteinander zu verbinden. Kann ich wirklich jede beliebige wählen? Da hat man ja Unmengen and Möglichkeit.

02.02.2021, 22:48

Leopold

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Ich greife dein (fehlerhaft geschriebenes) Zwischenergebnis auf und beginne einmal so:

$\begin{align*} G_{\text{Versuch}}(x) = \begin{cases} x + \frac{1}{\ln(3)} \cdot 3^{x^2} , & x<0 \\ \frac{1}{2} \operatorname{e}^{2x} , & x>0 \end{cases} \end{align*}$

Es ist Absicht, daß ich in der Definition von $\begin{align*} G_{\text{Versuch}} \end{align*}$ die Stelle $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ weder zum ersten noch zum zweiten Intervall dazugenommen habe. Schau dir einmal den Graphen von $\begin{align*} G_{\text{Versuch}} \end{align*}$ an.

[attach]52599[/attach]

Wie du siehst, hängen die beiden Stücke nicht zusammen. Das müßte aber bei einer differenzierbaren Funktion der Fall sein. Was könntest du tun, um die beiden Fäden zusammenzubinden, so daß die Eigenschaft $\begin{align*} G'(x) = g(x) \end{align*}$ (im Moment für $\begin{align*} x \neq 0 \end{align*}$ ) nicht verloren geht und auch noch für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ gilt?

02.02.2021, 23:02

Tomatensaft10

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Indem ich eine Verbindungslinie ziehe?
Tut mir leid, bin bei der Aufgabe mega auf dem Schlauch.

02.02.2021, 23:19

Leopold

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Wenn du jetzt einfach "+C" bei beiden Teilen dazurechnest, dann werden beide Teile in gleicher Weise um C nach oben oder unten verschoben, der Sprung aber bleibt. Nein, du mußt die beiden Teile gegeneinander verschieben, bis sie zusammenpassen. Dadurch verlierst du die Eigenschaft $\begin{align*} G'(x) = g(x) \end{align*}$ nicht.

Ich führe einmal die Bezeichnungen $\begin{align*} L(x) = x + \frac{1}{\ln(3)} \cdot 3^{x^2} \end{align*}$ für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ und $\begin{align*} R(x) = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{e}^{2x} \end{align*}$ für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ ein (das soll an "links" und "rechts" erinnern).

Du könntest zum Beispiel beide Stücke so verschieben, daß sie im Ursprung zusammenfinden. Es gilt

$\begin{align*} L(x) \to \frac{1}{\ln(3)} \end{align*}$ für $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$

Also definieren wir neu:

$\begin{align*} \bar{L}(x) = x + \frac{1}{\ln(3)} \cdot 3^{x^2} - \frac{1}{\ln(3)} \end{align*}$

Der Graph von diesem $\begin{align*} \bar{L} \end{align*}$ mündet von links in den Ursprung ein. Jetzt definiere entsprechend ein $\begin{align*} \bar{R} \end{align*}$ , so daß dessen Graph von rechts in den Ursprung mündet. Aus diesen beiden kannst du deine korrekte Stammfunktion zusammensetzen:

$\begin{align*} G(x) = \begin{cases} \bar{L}(x) , & x < 0 \\ \bar{R}(x) , & x \geq 0 \end{cases} \end{align*}$

Ob du die 0 zum ersten oder zweiten Intervall dazunimmst ist egal, da ja beide Stücke im Ursprung aneinanderhängen. Bei diesem $\begin{align*} G(x) \end{align*}$ kannst du dann von mir aus noch ein "+C" anhängen, um alle Stammfunktionen anzugeben.

02.02.2021, 23:49

Tomatensaft10

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Ahhhh okay, ja jetzt ist es einleuchtender! Danke schon mal für die tolle Ausführung.

Könnt ich für R(x) dann 1/2 hinzu addieren? also 1/2*e^(2x) + 1/2? Nähere ich mich da oder entferne ich mich dann?

02.02.2021, 23:51

Leopold

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In der alten Variante kommt 1/2 heraus. Also mußt du 1/2 abziehen, wenn du zur 0 willst.

02.02.2021, 23:53

Tomatensaft10

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Okay, alles verstanden. Dankeschön und gute Nacht!

02.02.2021, 23:56

Leopold

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Und so sieht eine mögliche Stammfunktion aus:

[attach]52600[/attach]

Und hier kann man jetzt natürlich noch eine beliebige Konstante addieren.