Konvergenz von Zähldichten

03.02.2021, 14:24	hanuta2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Zähldichten Hallo zusammen, ich habe folgende Übungsaufgabe aus einem Lehrbuch und hoffe mir kann jemand bei der Lösung helfen: Sei $\begin{eqnarray} (p_k^{(n)})_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Zähldichte für die gilt $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty} p_k^{(n)} \to p_k \end{eqnarray}$ für alle k und sei auch $\begin{eqnarray} (p_k)_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Zähldichte. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \mid p_k^{(n)} - p_k \mid \to 0 \end{eqnarray}$ Mein Prof hat angemerkt, dass wenn zB für alle k gilt: $\begin{eqnarray} \mid p_k^{(n)} - p_k \mid = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ dann geht das zwar gegen 0 aber die Summe würde dann nicht gegen 0 konvergieren. Ich denke es hat was damit zu tun dass es um Zähldichten geht. Hat jemand eine Idee?
03.02.2021, 15:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Boardprinzip solltest du erwähnen, wenn du die Frage zeitnah in einem anderen Forum gestellt hast, so wie hier: https://www.onlinemathe.de/forum/Konvergenz-von-Zaehldichten Auch wenn es in dem anderen Forum noch keine Antwort gab: Gelbe Karte Zum Inhalt: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie $\begin{eqnarray} \left(p_k^{(n)}\right)_{k=0,1,\ldots} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \left(p_k\right)_{k=0,1,\ldots} \end{eqnarray}$ bilden konvergente Reihen mit nichtnegativen Gliedern und Reihenwert 1, d.h. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} p_k^{(n)} = \sum_{k=0}^{\infty} p_k = 1 \end{eqnarray}$ . Daher gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{k=N+1}^{\infty} p_k < \frac{\varepsilon}{4} \end{eqnarray}$ . Für dieses $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ betrachten wir nun die endliche Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^N \left\| p_k^{(n)}-p_k\right\| \end{eqnarray}$ : Aufgrund der Einzelkonvergenzen $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} p_k^{(n)} = p_k \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left\| p_k^{(n)} - p_k\right\| = 0 \end{eqnarray}$ und dann auch für Summen mit festgelegter Summandenanzahl (wie hier) $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^N \left\| p_k^{(n)} - p_k\right\| = 0 \end{eqnarray}$ , daher gibt es ein $\begin{eqnarray} n_0=n_0(\varepsilon) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^N \left\| p_k^{(n)} - p_k\right\| < \frac{\varepsilon}{4} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ Was jetzt noch fehlt, ist eine Abschätzung von $\begin{eqnarray} \sum_{k=N+1}^{\infty} p_k^{(n)} \end{eqnarray}$ für diese $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ , und die gelingt aufgrund des gemeinsamen Reihenwerts 1 so: $\begin{eqnarray} \left\|\sum_{k=N+1}^{\infty} p_k^{(n)} - \sum_{k=N+1}^{\infty} p_k\right\| \stackrel{!}{=} \left\| \sum_{k=0}^N \left(p_k^{(n)} - p_k\right)\right\| \leq \sum_{k=0}^N \left\| p_k^{(n)} - p_k\right\| < \frac{\varepsilon}{4} \end{eqnarray}$ aufgelöst $\begin{eqnarray} \sum_{k=N+1}^{\infty} p_k^{(n)} < \frac{\varepsilon}{4} + \sum_{k=N+1}^{\infty} p_k < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ . Ergibt nun summa summarum per Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k^{(n)} - p_k\right\| \leq \sum_{k=0}^N \left\| p_k^{(n)} - p_k\right\| + \sum_{k=N+1}^{\infty} p_k^{(n)} + \sum_{k=N+1}^{\infty} p_k < \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ , und das war zu zeigen.
03.02.2021, 16:19	hanuta2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, ich wusste nicht dass man nicht in mehreren Foren gleichzeitig posten soll. Ich habe die Frage vor kurzem schon in einem anderen Forum gestellt und da ich dort keine Antwort bekommen habe, dachte ich dass ich es jetzt einfach in mehreren versuche. Trotzdem vielen lieben Dank für den Beweis, das wäre ich im Leben nicht drauf gekommen!

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