Winkel im Kreis mit zwei Sehnen

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Peter329 Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel im Kreis mit zwei Sehnen
Winkel im Kreis bestimmen.

Zwei Geraden schneiden sich in einem Kreis im Punkt X.

Gerade 1 schneidet den Kreis in den Punkten A und B
Gerade 2 schneidet den kreis in den Punkten C und D

Der Bogen CA ist 120 Grad.

Der Bogen BD is 50 Grad.

Wie groß ist der Winkel CXA ?

Ich hab keine Ahnung wie ich das angehen soll ! Ich weiß, dass bei einem Viereck auf einem Kreis sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180 summieren ... aber das hilft mir irgendwie nicht weiter.

Ich weiß auch dass die Kreissehnen sich nach dem Schmetterlingssatz in einem bestimmten Verhältnis teilen. Aber auch das hilft mir nicht weiter.

Ich hab das Gefühl, dass ich irgend etwas ganz Triviales übersehe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss erstmal eine Skizze machen, aber ich könnte mir vorstellen, dass der Kreiswinkelsatz erheblichen Anteil an der Argumentation hat.

EDIT: Ja. Damit ist es ein Zweizeiler.
Peter329 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ... der Kreiswinkelsatz besagt, dass der Peripherie Winkel über einer Kreissehne halb so groß ist wie der Zentralwinkel.

Aber wie kommt man jetzt damit von den Bögen der Kreisabschnitte auf den Winkel am Schnittpunkt der Geraden ?

Gibt es da irgend einen finsteren Satz, den ich nicht kenne ?

Die Lösung sollte auch funktionieren, wenn der Schnittpunkt der Geraden AUSSERHALB des Kreises liegt ! Auch da wird verlangt, dass man aus den beiden Bogenlängen auf den Winkel am Schnittpunkt der Geraden schließen kann.

Die Aufgabe wird einem Schüler der 8. Klasse gestellt ... das kann also nicht super schwierig zu lösen sein ... das verwendete Schulbuch liegt mir leider nicht vor.

Ich hab mal die Aufgabentypen als Screenshot angehängt ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Kreiswinkelsatz ist , analog . Der Außenwinkelsatz im Dreieck beim Eckpunkt ergibt .


Zitat:
Original von Peter329
Die Lösung sollte auch funktionieren, wenn der Schnittpunkt der Geraden AUSSERHALB des Kreises liegt !

Ok, das Szenario habe ich jetzt nicht betrachtet, sollte aber prinzipiell ähnlich gehen. Da kommt allerdings ein anderer Winkel heraus, nämlich . In den Antwortoptionen a) bis d) sehe ich diesen Wert nicht - da ist dann wohl doch davon auszugehen, dass man von dem in der Skizze gezeichneten Szenario " liegt im Kreis" ausgehen soll...
Peter329 Auf diesen Beitrag antworten »

Jau ... so ist das ... die halbe Bogensumme ist die Lösung, wenn der Schnittpunkt innerhalb des Kreises liegt.

Wenn der Schnittpunkt außerhalb des Kreises liegt, muss man die halbe Bogendifferenz nehmen.

Danke für die Denkhilfe ... du hast meinen Tag gerettet. smile

[edit] Also bei mir kommen damit Werte heraus, die auch in der Auswahl vorkommen:

Exercise 11: B (40)

Exercise 12: D (160)

Exercise 13: A (85)

Exercise 14: C (95)

Ich hoffe, dass ich keinen Blödsinn verzapft habe ... smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter329
Wenn der Schnittpunkt außerhalb des Kreises liegt, muss man die halbe Bogendifferenz nehmen.

Du meinst ? Hab ich nicht gesehen, sondern wie oben erwähnt . unglücklich

EDIT: Ach, ich verstehe - du hast dann auch die Orientierung der 50° gegenüber der der 120° vertauscht. Das ist eine zweite Geschichte, unabhängig von der Position des Schnittpunktes.
 
 
Peter329 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich ein bissl lax formuliert. Aber ich glaube wir beide verstehen uns jetzt.

Ich hab das mal allgemein durchgerechnet ... wenn man den Peripheriwinkelsatz anwendet, ist das ziemlich einfach.

Wenn die Bögen a und b heißen (a ist ist der größere Bogen) und der Schnittpunktwinklel epsilon, dann gilt:

Schnittpunkt im Kreis: (arc a + arc b) / 2 = epsilon

Schnittpunkt außerhalb des Kreises: (arc a - arc b) / 2 = epsilon

Ich vermute mal, dass die Kinder diese Formeln verbimst bekommen haben und damit die Aufgaben lösen sollen.

Danke nochmal für die Hilfe beim Nachdenken und einen schönen Tag !
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