Parameterdarstellung

04.02.2021, 13:36

Student1011

Parameterdarstellung

Liebes Forum,

es geht um folgende Aufgabe:

[attach]52614[/attach]

mein allgemeiner Ansatzt war hier erstmal, die Gleichung von der Paramterform in die kartesische Koordinatenform zu bringen. Wenn ich alles richtig gemacht habe sollte die Funktion folgende sein:

$\begin{eqnarray*} y(x)=-e^{-2x}+4e^{-x}-3 \end{eqnarray*}$

Man kann sehen, dass die Funktion eine Nullstelle bei x=-1 hat. (Wüsste aber nicht wie man das analytisch macht)

Beim Aufgabenteil a.) Flächen berrechung, integriert man doch jetzt von -1 bis 0. Wenn ich das so mache, komme ich aber nicht auf die Lösung, welche in der Musterlösung enthalten ist.

Wie würdet ihr da rangehen ? Würdet ihr von Anfang an in der Parameterform arbeite, oder lieber erst in die kartesische Form bringen ?

Da müsste aber doch von der Fläche her dasselbe rauskommen oder nicht ?

04.02.2021, 14:17

Bürgi

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RE: Parameterdarstellung
Guten Tag,

deine parameterfreie Funktionsgleichung kann nicht stimmen. (Setz manl x = -1 ein, da kommt dann nicht null heraus, wie du behauptet hast.)

Ich habe bei meiner(!) Funktionsgleichung als Nullstellen x = 0 und x = -ln(3).

Poste bitte mal deine Rechnung, wie du den Parameter eleminiert hast. Wahrscheinlich liegt da der Fehler.

04.02.2021, 15:03

Student1011

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RE: Parameterdarstellung

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Tag,

deine parameterfreie Funktionsgleichung kann nicht stimmen. (Setz manl x = -1 ein, da kommt dann nicht null heraus, wie du behauptet hast.)

Ich habe bei meiner(!) Funktionsgleichung als Nullstellen x = 0 und x = -ln(3).

Poste bitte mal deine Rechnung, wie du den Parameter eleminiert hast. Wahrscheinlich liegt da der Fehler.

Ohh stimmt. Eigenlich liegt es bei 1, wenn man nähmlich 1 einsetzt kommt Null raus. Aber ich bin mir nicht sicher. Ich poste mal meine rechung hier:

[attach]52618[/attach]

PS: Auch wenn ich deine Werte einsetzte kommt nicht die Fläche raus, die rauskommen sollte. Diese Beträgt laut Musterlösung A=-0.197 (Wahrscheinlich in Radian)

04.02.2021, 15:45

Bürgi

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RE: Parameterdarstellung
Hallo,

wenn Du eine Gleichung mit einem Wert oder Term multiplizierst, musst du das auf beiden Seiten der Gleichung tun. D.h., in der 2. Zeile von y(t) ist dein letaler Fehler.

Du hast den Term für t richtig eingesetzt und die Funktionsgleichung war richtig, bevor du sie verschlimmbessert hast. Also

$\begin{eqnarray*} y = 2 - \frac12 e^{-x} - \frac32 e^x \end{eqnarray*}$

Für die Nullstellenberechnung $\begin{eqnarray*} -\frac32 e^{-x} \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} y = 2 - \frac12 e^{-x} - \frac32 e^x ~ \Longrightarrow ~ y = -\frac32 e^{-x} \left( e^{2x} -\frac43 e^x + \frac13 \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt den Satz vom Nullprodukt anwenden. In der Klammer substituieren und die schlichte quadratische Gleichung lösen.

.... und die Flächengröße ist nicht -0,197 sondern $\begin{eqnarray*} A = 2(ln(3)-1) \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Tippfehler korrigiert

04.02.2021, 15:58

Student1011

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Erstmal Danke für die Antwort. Ich merke mein Fehler liegt darin, dass ich das Wissen aus der Schuleteilweise vergessen habe. Also das mit dem Satzt vor dem Nullprodukt ist mir klar. Jedoch habe ich gestern auch nochmal in meinen Schulheften nach geschaut um zusehen wie wir das früher mit der Substituion gemacht haben. Wir haben da aber immer was mit $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ hoch 2 substituiert. Das mit dem, wo man nur ein 2x hat, haben wir nie gemacht.Also wie bei der oberen Aufgabe eben. Ich du hoffe kannst mir erklären warum man die machen darf. Und wie genau die funktioniert.

04.02.2021, 16:10

Bürgi

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Hallo,

laut Potenzrechengestz ist $\begin{eqnarray*} e^{2x} = {e^x} \cdot e^x. \end{eqnarray*}$

Satz vom Nullprodukt: Ist ein Produkt von mindestens zwei Faktoren null, dann ist mindestens ein Faktor null.

Aus $\begin{eqnarray*} -\frac32 e^{-x} \left( e^{2x} -\frac43 e^x + \frac13 \right) = 0 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} -\frac32 e^{-x} = 0 ~\text{oder} ~ \left( e^{2x} -\frac43 e^x + \frac13 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Die rechte Gleichung ist - nach Substitution - eine schlichte quadratische Gleichung, die rationale Lösungen hat. Resubstitution nicht vergessen!

Nachtrag:

Zitat:

Wir haben da aber immer was mit exhoch 2 substituiert. Das mit dem, wo man nur ein 2x hat, haben wir nie gemacht

Noch einmal Potenzrechengesetz: $\begin{eqnarray*} e^{2x} = \left(e^x \right)^2 \end{eqnarray*}$

04.02.2021, 21:44

Student1011

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Super danke schön. Ich habe das jetzt verstanden. Jetzt noch eine frage zum Aufgabenteil b.)

Undzwar soll man hier um was für eine Art Extremstelle es sich handelt. Wie man das bei bei Funktion in kartesichen Koordinaten macht ist mir soweit klar. Zwei mal ableiten, Extremstelle in f''(x) einsetzen, und denn $\begin{eqnarray*} f''(x_E) > 0 \end{eqnarray*}$ folgt minimum und wenn $\begin{eqnarray*} f''(x_E) < 0 \end{eqnarray*}$ folgt maximum.

Aber manche Funktionen lassen sich nicht von der Paramterform in die kartesische Koordinatenform überführen. Wie bestimmt man hier ob es sich um ein Max. oder ein Min. handelt ?

Also im klar Text: Wie kann ich die analitisch aussrechen ob es min oder maximum ist ?

05.02.2021, 08:49

Bürgi

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Guten Morgen,

ich gehe mal davon aus, dass du in deinen Unterlagen findest, wie man Funktionen in Parameterform ableiten kann - sonst würde man dir eine solche Aufgabe ja nicht stellen.

Ich zitiere Herrn Bronstein:

Für $\begin{eqnarray*} x = \phi(t) ~ \text{und} ~ y = \psi(t) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}~,~ \phi'(t) \ne 0 \end{eqnarray*}$

Beachte bitte: Die Lösung der Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}=0 \end{eqnarray*}$
ergibt Lösungen in t, wobei du den Definitionsbereich fü t beachten musst!

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