Differenzierbare Funktion finden

04.02.2021, 13:45

Sandyyy

Differenzierbare Funktion finden

Meine Frage:
Finde alle Funktionen v:R^2 -> R, so dass die Funktion f:C->C mit
f(x+iy) = y^2-x^2 + sin(y)sinh(x) + iv(x,y) differenzierbar ist

Meine Ideen:
Ich dachte, dass man dass über die Cauchy-Riemann-Gleichungen machen könnte. Aber ich verstehe nicht so ganz, wie die Funktion v definiert ist.

04.02.2021, 13:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sandyyy
Ich dachte, dass man dass über die Cauchy-Riemann-Gleichungen machen könnte. Aber ich verstehe nicht so ganz, wie die Funktion v definiert ist.

Tja, richtige Idee, aber dann tust du nichts, sie konkret hier umzusetzen. Was besagt denn Cauchy-Riemann in deinem Fall hier?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(y^2-x^2+\sin(y)\sinh(x)\right) = -2x+\sin(y)\cosh(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial y}\left(y^2-x^2+\sin(y)\sinh(x)\right) = -2y-\cos(y)\sinh(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du dir eine der beiden herausnehmen, z.B. die erste: Um von der partiellen Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial v}{\partial y} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ selbst zu gelangen, musst du bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrieren und dabei beachten, dass die fällige Integrationskonstante durchaus von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen darf. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} v = -2xy-\cos(y)\cosh(x)+C(x) \end{eqnarray*}$

Um auch noch $\begin{eqnarray*} C(x) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, kannst du die zweite Gleichung nutzen, indem du dieses eben erhaltene $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableitest und mit dem Resultat oben vergleichst...

04.02.2021, 14:21

Sandyyy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt v nach x abgeleitet und dann würde ich -sinh(x)cos(y) -2y erhalten. Stimmt das? und die Konstante C ist dann einfach nur eine reelle Zahl?

04.02.2021, 15:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sandyyy
und die Konstante C ist dann einfach nur eine reelle Zahl?

So ist es, sozusagen Glück gehabt, denn das ist durchaus nicht immer so. Somit ist tatsächlich einfach

$\begin{eqnarray*} v = -2xy-\cos(y)\cosh(x)+C \end{eqnarray*}$

mit frei wählbarer Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ die Antwort.

P.S.: Mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ kann man die Gesamtfunktion dann übrigens auch schreiben als $\begin{eqnarray*} f(z) = -z^2-i\cosh(z)+iC \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbare Funktion finden

Verwandte Themen