Allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten

04.02.2021, 17:10	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten in Abhängigkeit von g Meine Frage: Aufgabe: Ein Federpendel wird von einem Hubkolbenmotor angeregt. Die Auslenkung der Kugel aus der Ruhelage x = 0 wird durch die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \ddot x(t) + w^2 x(t) = g(t) \end{eqnarray}$ für ? > 0 und eine periodische Funktion g modelliert. (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten in Abhängigkeit von g. Meine Ideen: wir substituieren y = x'. und ich kenne die lösung zu: $\begin{eqnarray} \ddot x(t) + w^2 x(t) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{h}(t)= C_1 sin(\omega t) + C_2 cos(\omega t) \end{eqnarray}$ Ich weiß aber nicht wie man auf folgendes kommt: $\begin{eqnarray} y(t) = c_1 (-wsin(wt)) + c_2 (wcos(wt)) \end{eqnarray}$ ich muss auf die folgende form kommen und dann eben Variation der Konstante. ich weiß wie es danach weitergeht. ich weiß aber nicht wie ich auf die zweite reihe komme. also y(t) $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{l}x_{\text {}}(t) \\ y_{\text {}}(t)\end{array}\right)=C_{1}\left(\begin{array}{c}\cos (\omega t) \\ -\omega \sin (\omega t)\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{c}\sin (\omega t) \\ \omega \cos (\omega t)\end{array}\right) \end{eqnarray}$ ich habe mal einen anderen weg probiert. bekomme für die eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda _1,2 =\pm iw \end{eqnarray}$ und die Eigenvektoren sind: $\begin{eqnarray} v_1= \begin{pmatrix} i \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} \lambda_1 = -iw \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2= \begin{pmatrix} -i \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda_2 = iw \end{eqnarray}$ dann alles einsetzen in c_1 v_1 e^(-wt) + c_2 v_2 e^(wt) dann wird e^(-wt) zu cos(wt) -isin(wt) und dann schreib ich nur die Re raus. aber kommt dennoch was anderes raus. $\begin{eqnarray} c_1 \begin{pmatrix} -sin(wt) \\ wcos(wt) \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} sin(wt) \\ wcos(wt) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
04.02.2021, 17:38	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten in Abhängigkeit von g Ich denke habe den fehler raus: bei dgl system darf ich für die eigenvektoren mit nur einem eigenwert arbeiten, da wir kompl. konj. haben. also \lambda = iw liefert v_1= (-i, w) und mein v_2 genauso mit iw aber kompl. konj. wäre dann v_2= (i, w) das müsste richtig sein. das ergebnis ist dennoch anders. auch nach multipl. mit i also mit (-1, iw) komm ich nciht auf die lösung vom tutor. ich denke die lösung könnte falsch sein.
04.02.2021, 21:20	xb	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Realteil würde ich so rechnen $\begin{eqnarray} (a-bi) \begin{pmatrix} -i \\ \omega\end{pmatrix} e^{iwt} \end{eqnarray}$
11.02.2021, 18:03	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
lösung: substitution: y= x' d.h. für y(t) einfach x ableiten

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